IN

soit des réels positifs tel que :

M Q:

par cauchy , (1/x²+1/y²+1/z²)>=(1/3) t²

avec t=1/x+1/y+1/z

donc il suffit de montrer que : 1/3t²>=9/4+t

<==> t²-3t-27/4>=0

<==> (t-9/2)(t+3/2)>=0

ce qui est vrai puisque par cauchy t>=9/(x+y+z)=9/2

y a une autre demo avec AM-QM;[on, pose: 1/x²+1/y²+1/z²=S]
on a:
(1/x+1/y+1/z)²/3=<S et on sait que 1/x+1/y+1/z>=9/2[AM-HM]
donc:
S>=3/2[1/x+1/y+1/z]
je vais montrer mnt ke :

3/2[1/x+1/y+1/z]>=9/4+1/x+1/y+1/z
<==>
1/x+1/y+1/z>=9/2 ce qui est juste..
{sauf erreur}.

EINSTEINIUM a écrit:

soit des réels positifs tel que :

M Q:

1/x^2 +1/y^2 +1/z^2-(9/4 +1/x+1/y +1/z ) = 1/4 * sum ( (x-y)^2(xy+2x+2y)/(xy)^2 )