Bonjour houssam.
Si on appelle g(x) la fonction (x-1)/(x+1), on constate que g(g(x))=-1/x et que g(g(g(g(x))))=x
On a donc :
f(x)^2 f(g(x)) = 64x
f(g(x))^2 f(g(g(x)) = 64 g(x)
f(g(g(x)))^2 f(g(g(g(x))) = 64 g(g(x))
f(g(g(g(x))))^2 f(x) = 64 g(g(g(x)))
Soit 4 équations à 4 inconnues f(x), f(g(x)), f(g(g(x))) et f(g(g(g(x)))) qu'il est facile de résoudre pour obtenir :
f(x) = -4 x^(2/5) (x-1)^(-1/5) (x+1)^(1/5)
Cette condition est donc nécessaire et il faut la reporter dans l'équation initiale pour voir si elle est suffisante, ce qui est le cas.
La présence d'une fonction u telle que u^[p](x)=x (composition p fois) dans une équation entraîne souvent qu'il faut aligner p fois l'équation pour trouver la solution.
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