salam:
1) par définition même (G,x) non commutatif signifie:
il existe a # b dans G tels que : ab # ba.
2)je note a' le symétrique de a ( ou bien l'inverse)
on a déjà : a # b
Si a=e ==> ab=eb=b=be=ba impossible ====> a # e
de même pour b ===> b#e
Si ab=e ==>a'ab=a'e ==> eb=a' ==> b=a' ,
or aa'=a'a=e ==>ab=ba ===>impossible , donc ab # e
de même ==> ba # e
Si ab=a ==> a'ab=a'a==> eb=e ==> b=e impossible
de même ===> ab#b , ba#a , ba#b
l'idée est la même : utilisation de l'inverse.
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conclusion : e ,a ,b , ab , ba sont distincts deux à deux.
------------------- donc : card(G) >= 5
3) si a' =e ===> aa' = ae ===> e=a impossible
si a'=b ,e= aa'=a'a ===>ab=ba impossible
si a' = ab ==> ab.a=e ==> ab.ab=eb=b ==> ab.aba=ba ==> ab.e=ba
===> ab=ba impossible
si a' =ba===> aba=aa' e ===>b.aba=b ==> aba.ba=ab==> e.ba=ab
===> ba=ab impossible
il ne reste que le cas a' = a
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si aba = e ==> a' = ba ou a' = ab ===> impossible
si aba = a ==> abaa=aa ==> ab=e impossible
si aba = b ==> aaba=ab ==> ba=ab impossible
si aba = ab ==> aaba=ab ==> ba=ab impossible
si aba= ba ==> abaa=baa ==> ab=b impossible
donc aba n'est pas dans G1
or la loi etant interne ===> aba est un élement du groupe
donc G # G1 , et G contient G1 =======> card G >= 6
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exercice II
1)le nombre de permutations est : 3! = 6
2) la loi o est interne
...................(1)......................(2)........................(3)
f1................(1)......................(2)........................(3)
f2.................(1)......................(3)........................(2)
f3.................(3)..................... (2)........................(1)
f4.................(2)......................(1)........................(3)
f5.................(2)......................(3)........................(1)
f6.................(3)......................(1)........................(2)
e = f1 , alors je te laisses vérifier les differentes compositions
pour la non commutativité voir:
f2of6 # f6of2
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