Ukraine

determiner toutes les fonctions f :R-->R qui verifient les trois conditions simultanément :

(a) il existe un reel M >0 tel que pr tt x de R :-M=<f(x)=<M
(b) f(1)=1
(c) si x#0 :

j ai bcp aimé ce probleme et je veux le partager avec mr PCO et biensur les autres membres du forum

Bonjour,

Soit P(x)) la propriété : f(x + 1/x^2) = f(x) + (f(1/x))^2

On a f(1)=1 et donc P(1) implique f(2)=2

Soit u =sup(|f(R*)|) (u existe puisque f est bornée)

Si u > 2, alors il existe a non nul tel que sqrt(2u) < |f(a)| <= u

Alors P(1/a) donne f(1/a + a^2) - f(1/a) = (f(a))^2
Mais |f(1/a + a^2) - f(1/a)| <= |f(1/a + a^2)| + |f(1/a)| <= 2u
Et |(f(a))^2| > 2u

Ce qui est impossible, donc u <= 2, et donc u=2 (puisque f(2)=2)

Mais alors P(2) donne f(9/4) = 2 + (f(1/2))^2 et donc f(1/2) = 0 (sinon f(9/4) > u)
Mais alors P(1/2) donne f(9/2) = 4 > u

Donc il ne peut y avoir de fonction f satisfaisant aux trois conditions données.
AMHA

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Patrick

jolie , j ai fait presque la meme chose