equa.diff.fonctionnelle

salut

resoudre l'equation differentielle suivante:

y'(2x)/y(x) + 2y(x) = 1

trouver toutes les fonctions verifiants:

f(x+1) - f(x) = 1

et merci
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Bonjour Wagshall,

Sont-ce deux problèmes distincts ?

salut
pour la 1ere question on va etudier d'abort la fonction sur Z ce qui donne
f(1)-f(0)=1
f(2)-f(1)=1
....
..
..
f(n)-f(n-1)=1===>f(n)-f(0)=n et puisque f(0)=0

alors f(n)=n par la desite de Q dans R qq soit x alors f(x)=x

Si les deux problèmes sont indépendants, le deuxième est immédiat :

f(x+1) - f(x) = 1 est équivalent à f(x+1) - (x+1) = f(x) - x et donc :

f(x)=x + p(x) où p(x) est n'importe quelle fonction périodique dont 1 est une période.

Par exemple :
f(x)= x+a
f(x)= x - {x} = [x]
f(x)=x + sin (2pi*x)
...

et puisque f(0)=0
pouvez vous éclaircir ?

Si les deux problèmes sont liés, il n'y a pas de solution :

De f(x)=x + p(x) on déduit que f(x) n'est pas bornée
De f'(2x)=f(x) - 2f(x)^2, on déduit alors que f'(x) n'est pas bornée
Mais de f(x+1)-f(x)=1, on déduit que f'x+1)=f'(x), et donc que f' est continue périodique, donc bornée.

Donc :

1) une solution générale au deuxième problème est f(x)=x + p(x), où p(x) est n'importe quelle fonction périodique dont 1 est une période

2) il n'y a pas de solution commune aux deux équations données

3) Si les deux questions sont indépendantes, il reste à résoudre la première : f'(2x)=f(x)-2f(x)^2 ( f(x) toujours non nulle)

salut

@ Mr pco :
NON les deux blemes ne sont pas liées j'ai juste posé la 2éme pour les lyciens car c'est facile et il est le cas d'une fonction generale.

donc la PREMIERE EST INDEPANDANTE DE LA 2éme
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merci

wagshall a écrit:

resoudre l'equation differentielle suivante:
y'(2x)/y(x) + 2y(x) = 1

Bonjour Wagshall
Bonjour tous

Ce problème me paraît bien compliqué et je n'ai pas trouvé de solution simple.
J'ai une quasi-démonstration de l'existence d'une infinité de solutions, toutes c_infini et totalement déterminées par le choix de f(0) (non nul) et "constructibles".
Je serais intéressé, wagshall, par un indice (si vous en avez un) permettant de déterminer plus simplement ces solutions

Construction des solutions :
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L'équation est équivalente à f'(2x)=f(x)(1 - 2 f(x)) avec la condition supplémentaire f(x) toujours non nulle.

Il est clair que si on a une fonction qui vérifie l'équation entre u et 2u (u non nul), on peut construire la fonction entre 2U et 4u (en intégrant f(x/2)(1 - 2 f(x/2)) et la nouvelle fonction vérifie la propriété entre u et 4u.

Le problème est donc plutôt de construire entre u/2 et u (existence de solutions à f'(2x0)=y - 2y^2) et, surtout la continuité et la dérivabilité en 0.

Je propose alors de partir dans l'autre sens et de supposer que f possède un développement limité en 0 avec un rayon de convergence non nul.

En écrivant f(x) = somme(i=0,+inf; a_i x^i), puis :
f'(2x) = somme (i=0,+inf; a_(i+1)2^i x^i) et
f^2(x) = somme (i=0,+inf; x^i somme(k=0,i; a_k a_(i-k)))

On trouve :
a_(i+1) = (a_i - 2somme(k=0,i; a_k a_(i-k))) / ((i+1)2^i) et tous les a_i peuvent être successivement calculés à partir de a_0 non nul.

On peut montrer assez facilement que |a_i| <= M^(i+1) avec M=max(|a_0|, |a_1|^(1/2), |a_2|^(1/3), 1/6)
Donc le rayon de convergence de f(x) = somme(i=0,+inf; a_i x^i) est non nul et au moins égal à 1/M

Sous réserve de montrer que l'expression de f'(x) est légitime (absolue convergence de la série dérivée), on peut donc exprimer une fonction f(x) totalement déterminée par le choix de a_0=f(0) (non nul), définie pour tout x de ]-1/M(a_0), 1/M(a_0)[ et vérifiant l'équation demandée sur son intervalle de définition.

On a donc résolu (à la réserve près de l'absolue convergence de la série dérivée) l'existence d'une telle fonction au voisinage de 0. Il suffit alors de prendre un u quelconque dans ]0, 1/(2M)[ et de fabriquer la fonction finale comme :
Pour tout x dans [-u,u], f(x) = somme(i=0,+inf; a_i x^i)
Pour tout x dans ]u,2u], f(x) = f(u) + int(u,x; f(x/2)(1 - 2 f(x/2))
Pour tout x dans ]-u,-2u], f(x) = f(-u) + int(-u,x; f(x/2)(1 - 2 f(x/2))
et ainsi de suite pour ]2u, 4U], ....

Il y a donc une infinité de solutions, toutes C_infini, totalement déterminées par le choix de a_0=f(0) non nul.

Bien sûr, pour a_0=1/2, on trouve la fonction constante f(x)=1/2

Complément :

A partir de a_(i+1) = (a_i - 2somme(k=0,i; a_k a_(i-k))) / ((i+1)2^i) , il est très facile de démontrer par récurrence que :

|a_i| <= |a0| (1+2|a0|)^i / i!

Donc la série somme(i=0, +inf; a_i x^i) est absolument convergente pour tout réel x (rayon de convergence infini) et la série des dérivées est aussi absolument convergente sur R

Il n'y a donc pas besoin de l'étape de construction à partir de [u, 2u] et on a directement comme solutions

f(x) = somme(i=0, +inf; a_i x^i) pour tout x de R, avec :
a0 réel non nul
Pour tout i >=0 : a_(i+1) = (a_i - 2somme(k=0,i; a_k a_(i-k))) / ((i+1)2^i)

J'espère quand même qu'il existe une solution directe donnant explicitement l'expresson de f(x).

Complément au complément :

La fonction f(x)= 1/4 + (sqrt(2)/4)sin((sqrt(2)/4)x) vérifie l'équation fonctionnelle f'(2x) = f(x) - 2(f(x))^2 mais pas l'équation initiale f'(2x)/f(x) + 2f(x) = 1 puisqu'elle s'annule en plusieurs points.

Il faut donc compléter le résultat ci-dessus pour détecter (et éliminer) les fonctions qui s'annulent en certains points ...

A suivre ...

Complément au complément au complément :

Pas de chance : je peux donc montrer que l'équation f'(2x)=f(x)(1 - 2f(x)) a une infinité de solutions C_infini, toutes déterminées par f(0).

MAIS, si on rajoute la condition f(x) jamais nulle, j'arrive à montrer que les solutions avec f(0) < 1/2 sont à exclure (elle s'annulent toutes en au moins un point).

La solution avec f(0)=1/2 est bien sûr bonne (f(x)=1/2).

Je ne sais pas si les solutions avec f(0) > 1/2 sont bonnes ou pas.

Si cela se trouve, il y a une démonstration simple que toute solution de f'(2x)=f(x)(1 - 2f(x)) autre que f(x)=1/2 s'annule nécessairement quelquepart ... .

Y a-t-il quelqu'un d'autre qui se soit intéressé à ce problème ?

Et, wagshall, avez-vous une solution ?.

--
Patrick,
qui commence à sécher,
et qui se demande d'où sort ce problème

Bonjour ;

Sauf erreur de ma part une solution y peut s'annuler en un certain point isolé x0
pourvu que la condition y'(2x)/y(x) + 2y(x) = 1 reste vérifiée quand x ---> x0

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour ;

Sauf erreur de ma part une solution y peut s'annuler en un certain point isolé x0
pourvu que la condition y'(2x)/y(x) + 2y(x) = 1 reste vérifiée quand x ---> x0

Bonjour elhor_abdelali,

Cela dépend simplement de la façon dont l'énoncé s'interprète.

Si on considère que "f'(2x)/f(x) + 2f(x) = 1" sans précisions s'interprète comme "f'(2x)/f(x) + 2f(x) = 1 pour tout x de R", alors f(x) ne peut s'annuler.

Si on considère que "f'(2x)/f(x) + 2f(x) = 1" sans précisions s'interprète comme "f'(2x)/f(x) + 2f(x) = 1 pour tout x de R pour lequel f(x) est non nul", alors f(x) peut s'annuler.

Dans le deuxième cas, je confirme qu'il y a une infinités de solutions c_infini déterminées par f(0).

Dans le premier cas, je commence à croire qu'il n'y a que f(x)=1/2

Remarque :

si x ---> f(x) est solution de y'(2x) = y - 2y² il en est de même pour x ---> 1/2 - f(-x) sauf erreur bien entendu

elhor_abdelali a écrit:

Remarque :

si x ---> f(x) est solution de y'(2x) = y - 2y² il en est de même pour x ---> 1/2 - f(-x) sauf erreur bien entendu

Bonjour elhor_abdelali,

Vous avez parfaitement raison.
Par ailleurs, j'ai beaucoup creusé ce problème et je pense que toutes les solutions sauf f(x)=0, f(x)=1/2 et f(x)= 1/4 + (sqrt(2)/4)sin((sqrt(2)/4)x) sont non bornées et rendent vers +inf quand x tend vers -inf et vers -inf quand x tend vers +inf, donc s'annulent au moins une fois.

La seule solution qui ne s'annulerait jamais serait alors f(x)=1/2.

j'aimerais beaucoup que wagshall nous dise d'où vient ce problème.