inégalité

soit : x,y£IR+*
Montrer que : x^y+y^x>1.

si x ou y est superieur à 1 on a fini .

si x et y appartiennent à ]0,1[ :

par Bernoulli :

x^{1-y}=(1+(x-1))^{1-y}=<1+(x-1)(1-y)=x+y-xy

donc x^y>=y/(x+y-xy)

de meme : y^x>=x/(x+y-xy)

d ou :

x^y+y^x>=x/(x+y-xy)+y/(x+y-xy)>x/(x+y)+y/(x+y)=1

done !