Inégalité

a,b,c son des réels
prouver que
a²+b²+c²+ab+bc+ac+3/2>=2(a+b+c)

BJR !!

On x2 :

2a²+2ab+2b²+2ac+2c²+2bc+3>=4(a+b+c)

a²+2ab+b²+a²+2ac+c²+b²+2bc+c²+3>=2(a+b)+2(a+c)+2(b+c)

On forme des Identites Remarquables :

(a+b)²-2(a+b)+1+(b+c)²-2(b+c)+1+(a+c)²-2(a+c)+1 >= 0

(a+b-1)²+(b+c-1)²+(a+c-1)²>=0

Samix , a,b,c Sont pas des reels .. a,b,c appartiennet a R*+

(a+b)²+1 >2(a+b)

a²+b²+2ab+1 >2(a+b)

b²+c²+2bc+1 >2(b+c)

c²+a²+2ca+1 >2(c+a)

Belle inego
on doit montrer que
a²+b²+c²+ab+bc+ac+3/2≥2(a+b+c)
alors on doit montrer que
2a²+2b²+2c²+2ab+2ac+2bc+3≥4(a+b+c)
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2a²+2b²+2c²+2ab+2ac+2bc+3=2a²+2b²+2c²+(a+b+c)²-a²-b²-c²+3
2a²+2b²+2c²+2ab+2ac+2bc+3=(a+b+c)²+a²+b²+c²+3
------------------------------------------------------------------
d'autre part
je vais demontrer que
a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3
3(a²+b²+c²)-(a+b+c)²=3a²+3b²+3c²-(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)
3(a²+b²+c²)-(a+b+c)²=2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc
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a²+b²≥2ab
a²+c²≥2ac
b²+c²≥2bc
en sommant
2a²+2b²+2c²≥2ab+2ac+2bc
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alors
3(a²+b²+c²)-(a+b+c)²≥0
d'où a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3
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on a 2a²+2b²+2c²+2ab+2ac+2bc+3=(a+b+c)²+a²+b²+c²+3
alors 2a²+2b²+2c²+2ab+2ac+2bc+3≥(a+b+c)²+(a+b+c)²/3+3
2a²+2b²+2c²+2ab+2ac+2bc+3≥4(a+b+c)²/3+3
mnt on vas soustraire 4(a+b+c)
4(a+b+c)²/3+ 3-4(a+b+c)=[4(a+b+c)²-12(a+b+c)+9]/3
4(a+b+c)²/3+ 3-4(a+b+c)=[2(a+b+c)-3]²/3
alors
4(a+b+c)²/3+ 3-4(a+b+c)≥0
d'où
4(a+b+c)²/3+ 3≥4(a+b+c)
et on a
2a²+2b²+2c²+2ab+2ac+2bc+3≥4(a+b+c)²/3+3
alors
2a²+2b²+2c²+2ab+2ac+2bc+3≥4(a+b+c)
d'où
a²+b²+c²+ab+bc+ac+3/2≥2(a+b+c)

mais bon la mienne est un peu longue...je prefere celle de mouados

wé c'vrais ! mais c'bien de connu plut de methodes