arithmétique exercice d'initiation

Montrer que pour tout n appartenant à N : 7 / (3^2n) - (2^n)

Salut

Penses à utiliser les congruences modulo 7.

A+

oui mais c plus difficile avec un exercice du genre : Monter que pour tout n de N : 17 / 3.5^(2n-1) + 2^(3n-2)

je vais appliquer :a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)xb+b^(n-2)xa+a^(n-3)xb²+b^(n-3)xa²+...............+b^(n-1))
mnt remplaçons a par 3^2 et b par 2
3^2n -2^n=9^n-2^n=(9-2)[9^(n-1)+9x2^(n-2)+2x9^(n-1)+9²x2^(n-3)+2²x9^(n-3)+....................+2^(n-1)]
alors
3^2n-2^n=7.[9^(n-1)+9x2^(n-2)+2x9^(n-1)+9²x2^(n-3)+2²x9^(n-3)+....................+2^(n-1)]
considerons
9^(n-1)+9x2^(n-2)+2x9^(n-1)+9²x2^(n-3)+2²x9^(n-3)+....................+2^(n-1)=k ( k de IN)
alors
3^2n-2^n=7k
d'où 7 divise 3^2n-2^n

Salut

Tu peux le faire par recurrence

je pense pas que cet un exo de terminal
premiere méthode
(3^2n) - (2^n) = 9^n-2^n = (9-2)(9^n-1+........+2^n-1)=7K

deuxieme méthode
on a : 3^2n=9^2
9= 2[7]
==> 9^n=2^n[7]
et 2= 2[7]
==> 2^n=2^n[7]

==> 9^n-2^n= 0 [7]

salam pour YASSINUS

pour n=0 on sort de IN

pour n€IN* : n-1 =k€ IN

donc on montre que : 17 divise A = 3.5^(2k+1) + 2^(3k+1)
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A = 3.5.(25)^k + 2.8^k

25 = 8 (mod 17) =====> A = 15.8^k + 2.8^k (mod 17)

A = 17.8^k (mod 17)

A = 0 (mod 17)

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plutôt je m'adresse à YASSINE 1621

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