Inégalité avec determinant

Soient A une matrice symetrique reelle positive et B symetrique reelle telle que A-B est symetrique positive

Montrer que detA>=detB

Weierstrass a écrit:

Soient A et B deux matrices de Mn(IR) symetriques et positives

Montrer que detA>=detB

salut mahdi est ce que tu as oublié un conditionement sur A et B??

et merci
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lahoucine

Voila ouais maintenant c'est règlé , merci de l'avoir signalé

Weierstrass a écrit:

Soient A une matrice symetrique reelle positive et B symetrique reelle telle que A-B est symetrique positive

Montrer que detA>=detB

Salut Mahdi !!!

je propose cette idée:

A£Sn+(IR) et B£Sn(IR) et (A-B)£Sn+(IR):

donc B est une matrice diagonalisable (dans une base orthonormée donnée).
A diagonalisable aussi et les valeurs propres sont tous positives.
de même pour (A-B)
alors soient {a_i}_1=<i=<n et {b_i}_1=<i=<n des valeurs propres de A et B respectivement.
donc:
(A-B)£Sn+(IR) ===> a_k-b_k >=0 ====> a_k >= b_k (1).

donc det(A)=prod{k=1-->n}(a_k) et det(B)=prod{k=1-->n}(b_k)

et d'aprés (1) on aura:

det(A) >= det(B)
C.Q.F.D
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lahoucine

mathema a écrit:

Weierstrass a écrit:

Soient A une matrice symetrique reelle positive et B symetrique reelle telle que A-B est symetrique positive

Montrer que detA>=detB

Salut Mahdi !!!

je propose cette idée:

A£Sn+(IR) et B£Sn(IR) et (A-B)£Sn+(IR):

donc B est une matrice diagonalisable (dans une base orthonormée donnée).
A diagonalisable aussi et les valeurs propres sont tous positives.
de même pour (A-B)
alors soient {a_i}_1=<i=<n et {b_i}_1=<i=<n des valeurs propres de A et B respectivement.
donc:
(A-B)£Sn+(IR) ===> a_k-b_k >=0 ====> a_k >= b_k (1).

donc det(A)=prod{k=1-->n}(a_k) et det(B)=prod{k=1-->n}(b_k)

et d'aprés (1) on aura:

det(A) >= det(B)
C.Q.F.D
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lahoucine

Bonjour

c'est une bonne idée de proceder ainsi ( d'ailleurs on a qu'a penser a l'orthogonalisation dans une bon) mais tu as etre omis que les bk ne sont pas forcement tous positifs , donc la multiplication est illicite

amicalement

salut mahdi !!

oui tu as totalement raison!! mais je ne sais pas est ce que tu as savais la relation d'ordre dans Sn(IR)
c-a-d: A >= B <===> A-B £Sn+(IR).

avant ma reponse je veux ta questionner est ce que tu es sûr que A£Sn+(IR) ou bien A£Sn++(IR)??

et merci
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lahoucine

Bonsoir

Oui je connais cette relation d'ordre, et je viens de revoir l'enoncé de l'exercice c'est bien "A symetrique reelle positive"

Weierstrass a écrit:

Soient A une matrice symetrique reelle positive et B symetrique reelle telle que A-B est symetrique positive

Montrer que detA>=detB

Bonsoir mahdi

Est ce que cela est vrai SI:
et .?????
et @+
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wagshall a écrit:

Weierstrass a écrit:

Soient A une matrice symetrique reelle positive et B symetrique reelle telle que A-B est symetrique positive

Montrer que detA>=detB

Bonsoir mahdi

Est ce que cela est vrai SI:
et .?????
et @+
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comment ta fais pour savoir que l'énnoncé est faut ?

salut mahdi

salut à tous !!

j'ai une demonstration de votre exo dans les cas où :
(A-B)£Sn+(IR) et:

->A;B£Sn+(IR) ou bien
-> si A£Sn++(IR) et B£Sn(IR)

et la premiere est banale et on peut accepter ma premiere idée.
et la deuxieme aussi un peut facile

et merci
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lahoucine