exo

montrer que:(raisonnement par récurrence)
(quelque soit n de N ) :13/10^(6n+1)+3^(3n+1)

c'est trivial avec la reccurence,mais c'est un peu plus interessant avec une demo arithmétique 100% ^^

Salut

Pour une démo arithmétique:

Je travaille dans Z/13Z:

On a 3^6=3^3
==>3^(6n)=3^(3n)
==>3(3^(3n)-3^(6n))=0
==>3^(3n+1)-3^(6n+1)=0
==>10^(6n+1)+3^(3n+1)=0 (car 10=-3)

Voila

A++

10⁶≡3³ [13]
═>10⁶ⁿ≡3³ⁿ [13]
On a 10≡-3 [13]
Alors,
10⁶ⁿ⁺¹≡-3³ⁿ⁺¹ [13]
═>10⁶ⁿ⁺¹+3³ⁿ⁺¹≡0 [13]

Donc 13/(10⁶ⁿ⁺¹+3³ⁿ⁺¹)

Mais avec la récurrence c'est facil aussi .

mazal madrnache demo arithmetique

C'est juste pour n=0
donc on suppose que 13/(10⁶ⁿ⁺¹+3³ⁿ⁺¹) et on va démontrer que 13/(10^6(n+1)+1+3^3(n+1)+1)
10^6(n+1)+1+3^3(n+1)+1
=10⁶ⁿ⁺¹⁺⁶+3³ⁿ⁺¹⁺³
=10⁶ⁿ⁺¹+10⁶ⁿ⁺¹.999999+3³ⁿ⁺¹+3³ⁿ⁺¹.26
=10⁶ⁿ⁺¹+3³ⁿ⁺¹+10⁶ⁿ⁺¹.13.76923+3³ⁿ⁺¹.13.2
=13k+13.(10⁶ⁿ⁺¹.76923+3³ⁿ⁺¹.2)
=13k+13k'
=13(k+k')
...

Donc 13/(10⁶ⁿ⁺¹+3³ⁿ⁺¹)

merci bcp

y a pas de koi ^^