Bijectivité d'une application de C[X]^2 dans C[X]

Soit f une app definie de C[X]*C[X] dans C[X] par :

f(A,B)=PA+BQ

Avec P et Q deux elements de C[X]

Montrer que f est bijective si et selement si P^Q=1

Weierstrass a écrit:

Soit f une app definie de C[X]*C[X] dans C[X] par :
f(A,B)=PA+BQ
Avec P et Q deux elements de C[X]
Montrer que f est bijective si et selement si P^Q=1

BJR à Tous et Toutes !!
BJR Weierstrass !!

Bin je crois qu'on a , grâce à BEZOUT :
{ f est SURJECTIVE } <=====> { P^Q=1 }

donc j'vwa pas l'INJECTIVITE ???? avec seulement P^Q=1 ?????
Comme f est visiblement LINEAIRE de C[X]xC[X] ( e.v produit ) dans C[X]
Cherchons Kerf ??
f(A,B)=0 si et ssi PA+QB=0 donc d'après GAUSS ( sous réserve que P^Q=1 ) P divise B et Q divise A donc A=t.Q et B=s.P avec t+s=0
Ainsi Kerf={(t.Q,-t.P) ; t dans C } et donc ...

See You

Bonsoir

Bon je ne sais pas s'il me manque des données , en tout cas je vais verifier .

PS : je comprends pas le truc de surjectivité que vous avez ecrit

Weierstrass a écrit:

Bonsoir
Bon je ne sais pas s'il me manque des données , en tout cas je vais verifier .
PS : je comprends pas le truc de surjectivité que vous avez ecrit

BJR Weierstrass !!
J'ai écrit :
{ f surjective } <===> { P^Q=1}

Dans le sens ====>:
Si est surjective alors 1 possède un antécédent par f donc il existe (A,B) tel que f(A,B)=AP+BQ=1 ce qui n'est autre que l'Identité de BEZOUT donc P^Q=1

Dans le sens <====:
Si P^Q=1 alors ( selon BEZOUT ) il existe A et B dans C[X] tels que
AP+BQ=1
il en résultera que pour tour T dans C[X] , T=T.1=T.{AP+BQ}=f(AT,BT)
et ainsi f est surjective ...

Apparemment tu as mis plus qu'il n'en faut dans la partie GAUCHE de ton équivalence ..... c'était ce que je voulais dire !!

P^Q=1 ne suffit pas pour GARANTIR l'injectivité de f !!
EN FAIT , f n'est jamais injective à moins que P=Q=0 .

Allé Babay !!

salut à tous !!!

je suis totalement d'accord avec vous Mr LHASSANE

f(A,B)=f(C,D) ===> PA+BQ = PC+QD ===>P(A-C)=Q(D-Q)

===>PX = QY ce qui peut admettre bcp de solutions pour Y et X.

et merci

PS: P;Q premier entre eux <==> P^Q=a £ C [deg(P;Q)>=1]
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lahoucine

bonsoir

mathema

puisqu il s'agit d'une application linéaire ce n'est pas la peine de voir quand est ce que f(A,B) = f(C,D)
il suffit comme Lhassane a fait d'examiner le noyau ...


Personnelement cela m'etonne à priori de voir une bijection du genre ( n'oublions pas que cette application est continue pour la structure canonique d'espace vectoriel normé de C[X] ... et par conséquent on risque d'avoir un homéomorphisme entre deux variétés topologiques qui n'ont pas les mêmes dimensions ....
Cependant avec la dimension infinie ce que j'ai dit peut se mettre en défaut ...)

salut Mohamed !!!

je sais bien cela mais c'est pas la peine de poster les mêmes reponses j'ai vue que Mr lhassane a utilisé Kerf ben j'ai pensé changer la methode et poster la definition classique de l'injectivité.

et c'est vrai aussi que f ne peut pas etre un homeomorphisme d'un espace muni de la topologie produit !!!

et merci
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lahoucine

bonsoir

Ok Lahoucine !!!

Ne nous ne pressons pas cependant moi et toi ;

pourquoi C[X] et (C[X])^2 ne peuvent pas être homéomoprphes ??

salut mohamed !!!

Non c'est les maths n'est ce pas ???

et comme d'habitude vous m'avez mal compris je parle de cette application f:(A;b) = PA+QB n'est pas dans le cas generale

et merci

PS: il y'a bcp des exemples d'applications qui sont des homeomorphisme de C[X]^2 dans C[X]
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lahoucine