Exos Olymp ^^

Bsr !

Voici des exercices que j'ai Passe au Olympiade de l'anne derniere

1) Calculez :

(1-4/1)(1-4/9)(1-4/25)............(1-4/39601)

2) voici un immeuble a la forme Triangulaire , dont les appartements sont comme suit :

quel est le nombre de l'appartement au dessus de lappartement 2007

3) Mq : n^2+1 n'est pas un carre parfait (classique)

4) (a,b,c) > 0 et : a+b+c=1
M.Q: a²+b²+c²>=1/3 :
et Donner le Cas d'egalite .

Bonne chance !

salam

1) -201/199

2) N° : 1919

3) S= t² + u²+v² , P = tu+uv+tv

a²+b² >=2ab =====> 2S >= 2P

(t+u+v)²=1 ======> S + 2P=1

===> 2S >= 1 - S =====> 3S >= 1 ======> S >= 1/3.


..................................

égalité pour t=u=v=1/3

.........

1)
A=(1-2²)(1-(2/3)²)(1-(2/5)²)....(1-(2/199)²)
= -1x3x(1/3)x(5/3)x(3/5)x(7/3)x....x(197/199)x(201/199)
=-201/199

2)
X=1919

3) n doit être de N*
nous avons n² est un carré complet
donc n²+1 n'est pas un carré complet parce que y a pas deux carré complet successive !!

dsl Houssa je t'ai pas vu ecrire !

l_Soufiane_l a écrit:

1)
A=(1-2²)(1-(2/3)²)(1-(2/5)²)....(1-(2/199)²)
= -1x3x(1/3)x(5/3)x(3/5)x(7/3)x....x(197/199)x(201/199)
=-201/199

2)
X=1919

3) n doit être de N*
nous avons n² est un carré complet
donc n²+1 n'est pas un carré complet parce que y a pas deux carré complet successive !!

salut
mais tu dois demontrer ce qui est en rouge
le but de l'exo et démontrer qu'il n'existent pas de carrés successifs

alors je poste une solution pour demontrer que n²+1 n'est pas un carrré parfait ...et pour cela je vais utiliser raisonnement par absurde
-------------------------------------------------------------------------
supposons que n²+1 est un carré parfait
alors n²+1=m² (m de IN*)
1=m²-n²
1=(m-n)(m+n)
m+n£IN* et m-n£IN*
1=1x1
alors m-n=1 et m+n=1 (un systeme)
en sommant les deux equations
2m=2 alors m=1
on a n²+1=m²
alors n²+1=1
d'où n=0
--------------------------------------------------------------------------
on a n£IN* (c'est une remarque que tu dois mentionner MouaDos)
alors n≠0
d'où la contradiction .....alors notre supposition est fausse
d'où n²+1 n'est pas un carré parfait (avec n£IN*)

pour le 4 (a,b,c) > 0 et : a+b+c=1
on doit montrer que: a²+b²+c²>=1/3 :
on peut utiliser les moyennes c rapide.....ou bien les identités remraquables comme a fait mr houssa
a²+b²≥2ab)
a²+c²≥2ac)
b²+c²≥2bc)
d'où
alors 2a²+2b²+2c²≥2ab+2ac+2bc
d'où 3a²+3b²+3c²≥a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
alors 3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²=1
a²+b²+c²≥1/3
cas d'egalité a=b=c=1/3

re.....j'ajoute quelques exos
1)-un petit jeu
le jeu consiste à trouver le produit du nombre G=142 857 143 par un autre nombre de neuf chiffres .il suffit alors de former le nombre de 18 chiffres obtenus par la repetition du nombre autre que G.et de diviser ce nombre de 18 chiffres par7.le resultat est le produit cherché....pk?
2)-un peu de geometrie mnt
considérons un parallélogramme ABCD ....I est le projeté orthogonal de B sur [AC] ....J le projeté orthogonal de A sur [DB]....K le projeté orthogonal de C sur [DB]...et L le projeté orthogonal de D sue [AC]...montrer que IJKL est ainsi un parallélogramme.
3)-mnt une petite inegalité
x;y et z des reels tel que:
x²+y²+z²≤1
montrer que
-1/2≤xy+xz+yz≤1
------------------------------------------------------------
ENJOY

Bjr tt Le Monde !

Vos Reponses Sont Justes , mais je vois que personne n'a demontrer d'ou viens le 1919 De l'exo de l'immeuble

Pour l'exo 3 : ( que j'ai Oubliee de Mentionner la condition ^^) y'a la methode :

n² < n²+1 < n²+1+2n <=> n² < n²+1 < (n+1)² .. d'Ou n²+1 ne peut etre un carre Parfait , comme quoi il est Bornee de carres consecutifs !
Pour l'inegalite , le Resultat est Obtenu directement Par chebychev .


Pour Ton exo Majdouline : J'ai une petite Reponse (que j'espere qu'elle n'aie pas le meme sort de celle des fonctions )

On remarque qu'en Multipliant le Nombre : 142 857 143 x 7 = 1 000 000 001

et c'est Facile de multiplier un nombre de 9 chiffres par 1 000 000 001 ,
On ecrit Juste le Nombre Desiree , On ajoute 9 zero ( parcequ'on Multiplie par 1 000 000 000 ) , Puis On aditionne le Nombre desiree
Conclusion : en Multipliant le Nombre desiree Par 1 000 000 001 , On le Reecrit 2 fois consecutifs .. Ex : 987654321x1000000001=987654321987654321 .
Puis On Divise Par 7.

bSr MouaDos
oué c ça la reponse...bien vu...nn c pas comme la fonction d'hier...c'est pas le cas du tt....pcq les exos que j'ai propsés sont à notre niveau ...or la fonction d'hier est vmt de haut niveau .....allez continuez à poster les reponses des exos qui restent!!!!!!

pour l'inegos,
on a xy+yz+zx=<x²+y²+z²=1
xy+yz+zx>=-1/2 <=> 2(xy+yz+zx)>=-1 <=> (x+y+z)²>=0
ce qui est juste.

oué mathsmaster...allez la geometrie...c'est simple

wi il suffit de savoir que si [A] est perpendiculaire avec [B], et [C] est perpendiculaire avec [B] alors [A] est parallele avec [C]