Autour de l'ensemble des entiers naturels.(pas tjrs facile)

1- soit P une partie non vide de IN , stable par addition.
Mq il existe (n,k)£IN² tq P inter [n,+00[ = k.IN inter [n,+00[

2-Montrer qu’il existe un unique ensemble X vérifiant la propriété (*) suivante:

(*) l'ensemble vide £ X et si x £ X alors xU{x}£X
et qui est contenu dans ts les ensembles vérifiant * .
On admet mtn qu'il existe un tel ensemble, on le note N;

Montrer que £ est une relation d'orde strict et total sur N.

1-P est non vide de N=>P admet un minimum noté n
on remarque que tout élément de N supérieur à n admet un diviseur dans Q=[n,2n[.ON choisit donc les élément de P qui sont dans Q qu'on note m_1,...,m_q.on a donc P est inclu dans
m_1N+...m_pN=pgcd(m_1,...,m_p)N=kN
l'autre question , je la laisse pour aprés

joystar1 a écrit:

1-P est non vide de N=>P admet un minimum noté n
on remarque que tout élément de N supérieur à n admet un diviseur dans Q=[n,2n[.ON choisit donc les élément de P qui sont dans Q qu'on note m_1,...,m_q.on a donc P est inclu dans
m_1N+...m_pN=pgcd(m_1,...,m_p)N=kN
l'autre question , je la laisse pour aprés

En es-tu sûr ??
Je rappelle que l'ensemble des nombres premiers est infini ...

lol je n'ai surement pas su comment traduire mon intuition sur ce sujet.Quoi qu'il en soit,vu que tu en parle,SI la partie additive que tu étudie contient tout l'ensemble des nombre premiers positif,je crois de ce cas ton affirmation ne tient plus debout(k=1,...)Je crois que c'est possible de construire un tel ensemble

Peut être...
Mais ce qui m'importe c ton passage qui est Faux(souligné en rouge) , et qu'il faut changer de démonstration ou effectuer un autre détour ...
Amicalement.