belle intégrale !! colle

évaluer : ( inf (a1,.....an)€R^n ) ( int (0,+00) (exp(-x) (1+a1*x +...+an*x^n)² dx )

Considérer le produit scalaire sur R[X] suivant:
<P,Q> = int(0,+00) exp(-x)P(x)Q(x)dx

Soit H={P€R_n[X] / P(0)=1} hyperplan affine ( fermé)
L'inf en question est d(0, H)=|| P_0|| avec P_0€H

abdelbaki.attioui a écrit:

Considérer le produit scalaire sur R[X] suivant:
<P,Q> = int(0,+00) exp(-x)P(x)Q(x)dx

Soit H={P€R_n[X] / P(0)=1} hyperplan affine ( fermé)
L'inf en question est d(0, H)=|| P_0|| avec P_0€H

certe c'est une bonne démarche , sauf qu'il faut évaluer ,ie donner la valeure exacte de cet integral

salut à tous !!!

je crois que:




j'ai repondé directement sans utiliser aucune calculs et merci
_______________________________
lahoucine

Si mes calculs sont bons cette borne inférieure vaut 1(n+1) sauf erreur bien entendu

Je veux dire 1/(n+1)

Conan a écrit:

évaluer : ( inf (a1,.....an)€R^n ) ( int (0,+00) (exp(-x) (1+a1*x +...+an*x^n)² dx )

dsl mais j'ai pas vue bien votre exo!!!

je vois d'abord que l'objective c'est de calculer:



et la reponse c'est d'utiliser la projection orthogonale dans la base canonique B={1,x,x²,....,x^n} on utilisns le produit scalaire



comme Abdelbaki l'indiqué

PS: je crois que j'ai deja posté un cas exeptionnel dans la rubrique des TSM de "Grand jeux d'integrale"
et pour les calcules demain incha allah
et merci
___________________________________
lahoucine

elhor_abdelali a écrit:

Je veux dire 1/(n+1)

right on target

bravo , je pense que les autres membres aimeraient bien voir la belle procédure

Merci Conan pour la confirmation !

Je laisse un peu de temps avant de poster ma démarche si nécéssaire bien entendu

Borne inférieure atteinte en (a1,...,an) où ai = (-1)^i.C_n^i/(i+1)! pour i=1...n sauf erreur bien entendu

mathema a deja poster l'exo quelquepart !!et c'est tres classique.mais pour changer,essayez d'utiliser les derivées partiels .

Non Mr kalm ,
ça n'a rien à avoir avec le min proposé par mathema ici https://mathsmaroc.jeun.fr/groupe-etudiants-du-t-s-m-f28/grand-jeu-des-integrals-t11344-90.htm

d'ailleurs le min proposé par mathema se calcule directement et vaut -oo

Dans l'exercice de Conan en utilisant les polynômes de Laguerre on arrive à montrer que la borne inférieure cherchée
est aussi celle de la somme u0²+...+un² sous la contrainte u0+...+un = 1 sauf erreur bien entendu


NB : Amicalement et dans l'intéret de ce forum les membres sont priés d'écrire des énoncés clairs et précis
et en cas de réponse la bonne rédaction et la rigueur du raisonnement sont toujours les bienvenus

.

kalm a écrit:

mathema a deja poster l'exo quelquepart !!et c'est tres classique.mais pour changer,essayez d'utiliser les derivées partiels .

j'aimerais bien que tu ne fasse part de cette méthode , et mieux , j'aurais bien aimé comparé les différentes méthodes

Je m'explique :

pour k£IN on note L k la fonction polynômiale de degré k définie par : L k(x) = [exp(x)/k!].[x^k.exp(-x)]^(k)

alors ( L0 , . . . , Ln ) est une base orthonormale de l'espace euclidien (IRn[x],<,>) où <P,Q>=int[0,+oo[exp(-x)P(x)Q(x)dx

en écrivant 1+a1x+...anx^n=u0L0(x)+...+unLn(x) on a successivement :
u0 +...+ un = 1 et u0² +...+ un² = int[0,+oo[exp(-x)(1+a1x+...anx^n)²dx

et l'inégalité de Cauchy-Shwarz dans IR^(n+1) canonique donne alors que l'inf cherché est 1/(n+1)
et qu'il est atteint pour 1+a1x+...anx^n = [L0(x) + . . . + Ln(x)]/(n+1) sauf erreur bien entendu

BSR Mr ELHOR !!

C'est très beau !! Mais d'ou vous est venue l'idée d'utiliser les Polynômes de LAGUERRE ? Sans doute la présence du POIDS ( x --------> exp(-x) ) dans la définition du produit scalaire <.;.> !!
Moi , j'aurais sincèrement vu le problème comme la Minimisation d'une Fonctionnelle F définie sur IR^n et sous réserve de parvenir à une expression explicite de F(a1,a2,....,an)= <P;P> en fonction des seuls coefficients a1,a2,....,an permettant ainsi d'utiliser la Méthode de Lagrange ( Recherche des Points Critiques de F et examen de leur nature ... )

Amitiés .
LHASSANE

Merci MR Lhassane !

j'ai remarqué , comme abdelbaki , que la quantité à minimiser est le carré d'une norme euclidienne ||P||² avec P(0)=1

j'ai cherché alors à exprimer cette quantité dans une base orthonormale sauf erreur bien entendu



remarque : la recherche des extrémas de la fonction (a1,...,an) ----> int[0,+oo[exp(-x)(1+a1x+...+anx^n)²dx peut aussi aboutir
et j'attends , comme conan , une bonne rédaction de la part de kalm

salut
hhh je ne sais pas pourquoi tu insiste sur la redaction!!!,mais malheureusement j'ai pas le temps d'ecrire une solution bien faite "kima tadir nta" < z3ma!!>.et meme si j'avais le temps je vais ecrire une quasi solution car je suis impatient de savoir qui est ce que tu va dire apres.
bon,la solution que j'ai fait été tres vite.mais le truc qui tue l'exo c'est d'inverser la matrice A=((i+j)!)_{1=<i,j=<n},et je vous laisse l'inverser.
a+