merci erdos2009 pour cet exo,il donne une autre méthode pour montrer si une matrice réelle inversible est exponentielle,il suffit alors de montrer qu'elle est une matrice carrée,ce qui me semble bcp plus simple et plus efficace.
il suffit pour résoudre ce problème de montrer que l'application exp:M_n(C)------->GL_n(C) est surjective.
j'utilise comme l'indiqué MOHAMED_AIT_LH la décomposition de DUNFORD.
puisque Xi_M est scindé sur C,il exsite D diagonalisable et N nilpotente qui commutent telles que M=D+N.
on écrit puisque D est inversible (car M l'est donc ses valeurs propres sont tous non nuls),M=D(I_n+D^{-1}N).
l'objective de ce qui va venir aprés est de montrer qu'il existe deux polynomes A et B tel que D=exp(A(M)) et I_n+D^{-1}N=exp(B(M)).
l'existence de A est garantie vue que l'application exp:C---->C* est surjectve.
et puisque D^{-1} est un polynome de D (en vertu de Cayley hamilton) donc commutent avec N d'où (D^{-1}N)^{n}=0,donc I_n+D^{-1}N est unipotent et par suite elle est l'exp d'un logarithme(je suppose que ce résultat est connu),d'où l'existence de B.
mnt si M=exp(P(M)) dans ce cas c'est P=A+B,alors M est inversible et M=(exp(P/2))^{2}.
s'il existe R réelle telle que M=R^{2} avec R inversible,alors il existe d'apres ce qu'on a montré P polynome tel que R=exp(P(R)),et vu que R est réelle alors on a de mème R=exp(bar(P(R)),bar est le conjugé de P(R).
alors R^{2}=exp(P(R)+bar(P(R)) ce qui montre que M est l'exponentielle d'une matrice.
TRES JOLI EXERCICE,MERCI!
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