exo d'arithm

Bonjour,
Determiner tous les couples (a, b) de IN X IN tels que ab^2 + b + 7 divise a^2b + a + b.
AA+

Bonjour,
(a, b) = (11, 1), (49, 1) ou(7k^2, 7k). A vous de trouver une belle méthode.

on pose N=( a²b + a + b)/(ab² + b + 7 )
on a : |bN-a|=|b²-7a|/(ab² + b + 7 )
<max(1/a ; 7/b²)
si b>=3 : b²=7a d ou la solution est (a,b)=(7k²;7k)
si b=2: |2N-a|=(7a-4)/(4a + 9 ) <=1 d ou 7a-4=4a+9 c ad a=13/3 impossible
si b=1 : |N-a|=(7a-1)/(a + 8 )
= 7-57/(a+
d ou a+8 appartien a {1;3;19;57}
d ou a appartien a {11;49}
conclusion: (a, b) = (11, 1), (49, 1) ou(7k^2, 7k).
NB:g supposé que a et b sont non nuls mem si c ps di ds l enoncé

Bonjour
On a : ab² + b + 7 divise a(ab² + b + 7)- b(a²b + a + b) = 7a - b² .

Si 7a = b², alors b=7k et a = 7k², et il est facile de voir que c'est une solution.
On ne peut pas avoir 7a < b². Sinon 0 < b² - 7a < ab² < ab² + b + 7.
Si 7a > b², alors 7a - b² >= ab² + b + 7 > ab², donc 7 > b², soit b = 1 ou b=2.

Si b=2, alors 4a+9 divise 2a² + a + 2 .
a(4a+9)-2(2a² + a + 2)=7a-4 ou encore 7(4a + 9) - 4(7a - 4) = 79. Le seul facteur plus grand que 9
est 79, mais ceci donne a=35/2 non entier. Donc il n' y pas de solutions pour b=2.

Si b=1, alors a + 8 divise a² + a + 1 et a(a + 8 ) - (a² + a + 1) = 7a - 1,
7(a + 8 ) - (7a - 1) = 57. Les seuls facteurs plus grands que 8 sont 19 et 57. Donc a = 11 ou 49. Il est facile de voir que (a, b) = (11, 1) et (49, 1) sont solutions.

AA+