| | --> module

Soit a et b de C tel que |a|=|b|=1
la fonction



admet-elle une valeure maximale ou minimale ?

On peut l'imaginer géométriquement,a et b sont sur le cercle unité.Pour la valeur maximale,elle n'existe pas car si x est tres grand f grandit indéfiniment.Par contre la valeur minimale existe clairement si l'on fait un schéma.Pour retrouver le x pour lequel il ya minimalité,c'est joli.(toujours faire un dessin)
Cas 1:si a et b ont des prties imaginaires de signes différents,il suffit de repérer l'intersection de (AB) avec l'axe des abscisses
Cas 2: sinon on repere l'intersection de (AC) avec l'axe des abscisses ou C est le symétrique de B par rapport a ce mm axe.

salam

si on pose a = u+iv , b= t+iw , u²+v²=t²+w²=1

f(x) = Rac[(x-u)²+v²] + Rac[(x-t)²+w²] = Rac(x²-2ux +1) + Rac(x²-2tx +1)

on voit bien que f(x) n'est pas majorée , donc pas de max

f(x) est minorée par Rac(v²) + Rac(w²) = |v| + |w|

le pb : le minimum ? ( les variations c'est un peu compliqué...)

donc la solution géométrique proposée par Euler* est pertinente.

.

salam à tous :-) !!!!

la solution est simple en effet:

|b-a| = |(x-a) - (x-b)| =< |x-a| + |x-b| = f(x)

donc f(x) >= |b-a| d'où .....

et d'une autre part |2x-b-a| =<f(x) = |x-a| + |x-b| =< 2(|x| + 1)

et puisque 2(|x|+1) ---> +00 et |2x-b-a|-->+00 si x-->+00 donc pr tt A>0 il existe B>0 tq x>B ==> f(x) >= A d'où ....
et merci
____________________________________________
lahoucine

Il est clair que f est minorée car positive...mais le plus important c'est de déterminer le point critique...

Euler* a écrit:

Il est clair que f est minorée car positive...mais le plus important c'est de déterminer le point critique...

la min de f c'est le point x=a=b=1

et merci
______________________________
lahoucine

pour mathema

attention : a et b sont fixés au départ ; donc x=a=b=1???????????

...................................

En plus a et b sont des éléments de C alors que f est définie sur R !!!!!!!!!!!!!!

houssa a écrit:

pour mathema

attention : a et b sont fixés au départ ; donc x=a=b=1???????????

...................................

Oui tu as raison Mr houssa mais j'ai pas relié ça à l'exo j'ai juste determiné les condition où f s'annulle c tt et pour le min je crois que:
min(x£IR){f(x)} = |b-a|.

et pour Euler* est ce que vous savez que IR inclus dans C ????
(a=1+0i par exemple)

et merci
__________________________________________
LAHOUCINE

Savez-vous que R est strictement inclus dans C ?(donc si je fixe a dans C je peux pas écrire x=a pour x dans R)

je développe l'idée d'Euler*

soit M(x,0) . A , B d'affixes : a et b

f(x) = MA + MB

1)Si x ----------> +ou-inf ====> f(x) ------------> +inf

2) A et B de part et d'autre de (Ox)

MA + MB est minimum <===> M € [AB] donc chercher (AB) inter (Ox).

3) A et B du même côté de (Ox)

notons A' le symétrique de A par rapport à (Ox)

MA + MB = MA' + MB

MA + MB est minimum <===> M € [A'B] donc chercher (A'B) inter (Ox).

...........................................

les variations de f(x) c'est pas commode.

.........................

Tout à fait d'accord avec Euler, le min cherché, qui existe clairement, n'est pas |b-a|, sauf si l'un des 2 termes a ou b est réel (ou les 2).

On peut tout juste dire que min f >= |b-a|, rien de plus

EDIT : Mr Houssa vient de faire ça en même temps par un calcul... plus d'intérêt réel pour mon post