Problème d'octobre 2006

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Voici la solution de Aissa
bonsoir tout le monde
voilà la solution du problème du mois d'octobre 2006.
on pose S_1 le premier membre et S_2 le second membre.
on a S_1>0 et S_2 >0.

S_1=( 1/S_2 *S_1)*S_2 < (1/S_2*S_1 +1) S_2 et C = 1/S_2*S_1 +1 convien.
aissa (aissa lhouari)

Solution envoyée (pas besoin de la suggestion ).

Voici la solution d'Ephemere

Bonjour,

Voici la solution du problème du mois d'octobre 2006.

Je vais montrer plus qu'il n'est demandé : je vais montrer que pour toute constance C>0 l'inégalité de l'énoncé est réalisée pour chaque suite (a_n) pour lesquelles les deux séries convergent.

Je commencerai par un théorème bien connu : la moyenne arithmétique de nombres strictement positifs est supérieur ou égale à la moyenne harmonique de ces mêmes nombres. Mathématiquement, cela donne :
Si x_1, x_2, x_3, x_n >0,
alors(x_1+x_2+x_3+...+x_n)/n >= n/(1/x_1+1/x_2+1_x_3+...+1/x_n).

De ceci, on déduit que la suite des sommes partielles du premier membres de l'énoncé a son terme général qui devient et reste inférieur ou égal au terme général de la suite des sommes partielles du second membre de l'énoncé (en effet, d'abord on pose b_i=1/a_i>0 pour apliquer le théorème des moyennes arithmétique et harminique aux b_i et d'autre part 1/n finit par devenir et rester plus petit que la constante strictement positive C).

Le passage à la limite pour n qui tend vers l'inifini (les limites existent par hypothèses) ne peut pas inverser cette inégalité. Donc le théorème de l'énoncé est vrai, et est même vrai quelque soit la constance C>0.

Solution d'Ephemere