Min et max

salut
x,y,z>0 tels que (x+y+z)^3=32xyz
trouver le min et le max de :

Soit z=max{x+y,y,z} donc il est clair que z>=x+y.
On a :










L'égalité a lieu si x=y=z/2
et ses cyclic permutation.

salut
pour moi j'ai utilisé cauchy-schwarz pour détérminer le min

je veux une vérification SVP !!

cyclic permutation ??? ça veux dire quoi ce cyclique et cocyclique svp ??

BSR à Toutes et Tous !!

Je rentre sur la pointe des pieds dans ce Topic parceque les Inégalités , Cauchy-Schwartz , IAG ..... ce n'est pas ma tasse de thé !! Je remarque seulement que :
1) La contrainte est HOMOGENE dans le sens suivant : si vous changer x en t.x , y en t.y et z en t.z elle ne change pas !
2) La Fonction dont vous cherchez les EXTREMAS est également HOMOGENE .....

Par suite , il me semble qu'il est de COUTUME de supposer que
x+y+z=1 et de traiter le pb ainsi .

Une confirmation d'un spécialiste ??

LHASSANE

A Kogu: ta demonstration n'est pas juste car:
-Vous n'avez pas vu les condition sur a,b et c.
-L'utilistation de Cauchy shwarz donne 1/27 nn 1/9.
Si vous ne croyez pas jrb x=y=1/2 z=1.

BJR à Toutes et Tous !!

N'ayant pas de réponse à mon Post plus haut ????
Je relance le Problème ...

La question posée par kogu est en fait équivalente à la recherche des Extrêmas de la fonction
F(u,v,w) = u^4+v^4+w^4
sous les contraintes :
u,v;w sont dans IR*+ et u.v.w=(1/32)

Vous ne trouvez pas celà PLUS SIMPLE , Non ??????

dac ,je vais vérifier

! 3ad tverifier! asahbi c'et
clairement faux!

Bison_Fûté a écrit:

La question posée par kogu est en fait équivalente à la recherche des Extrêmas de la fonction
F(u,v,w) = u^4+v^4+w^4
sous les contraintes :
u,v;w sont dans IR*+ et u.v.w=(1/32)

Vous ne trouvez pas celà PLUS SIMPLE , Non ??????

et en plus , elle peut être résolue très facilement par la Méthode de LAGRANGE comme celà est expliqué sur ce Lien de MathsLinks.ro :

http://www.mathlinks.ro/Forum/weblog_entry.php?t=163432

et tant pis si personne ne répond !!!

Bison_Fûté a écrit:

Bison_Fûté a écrit:

La question posée par kogu est en fait équivalente à la recherche des Extrêmas de la fonction
F(u,v,w) = u^4+v^4+w^4
sous les contraintes :
u,v;w sont dans IR*+ et u.v.w=(1/32)

Vous ne trouvez pas celà PLUS SIMPLE , Non ??????

et en plus , elle peut être résolue très facilement par la Méthode de LAGRANGE comme celà est expliqué sur ce Lien de MathsLinks.ro :

http://www.mathlinks.ro/Forum/weblog_entry.php?t=163432

et tant pis si personne ne répond !!!

slt Mr Lhassane , content de vs revoir , juste vs avez oublier u+v+w=1 ,effectivement le pb peut etre résolue par la methode de Lagrange , mais sa demande de calcul et personnellement je cherche une méthode plus belle et sans calcul

beautiful mind a écrit:

Soit z=max{x+y,y,z} donc il est clair que z>=x+y.

lol tu ne peux pas supposer cela , en plus x,y,z sont les cotés d'un triangle ( Prouvez le )
A+

dans cet exo on trouve seulement le min sahbi neutrino donc on peut supposer des contraintes qui rendent l'inégalité à quantité minimal pour trouver le min! si tu n'a pas encore compris cherche un peu sur internet.

beautiful mind a écrit:

dans cet exo on trouve seulement le min sahbi neutrino donc on peut supposer des contraintes qui rendent l'inégalité à quantité minimal pour trouver le min! si tu n'a pas encore compris cherche un peu sur internet.

je te laisse découvrir ton erreur mon ami , je ne veux pas me casser la tete ( amicalement)
pr la soluce , jé trouvé une qui est trop laide:
Avec la remarque de Mr Lhassane on peut supposer que x+y+z=1=32xyz
alors:
S=x^4+y^4+z^4= (x²+y²)²-2(xy)² + (1-(x+y))^4= ( (x+y)²-2xy)²-2(xy)²+(1-(x+y))^4
maintenant :xyz= xy(1-(x+y))=1/32 <=> x+y = (xy-1/32)/xy= 1-1/32xy
==> : S= ( (1-1/32xy)²-2xy)²-2(xy)² +( 1-(1-1/32xy))^4=f(t) avec xy=t >=1/16
alors il suffit d'étudier les variations de f et déduire meme si c'est fastidieux
pr montrer que z<=x+y
ona: z²/4 .xy = z/2 .z/2 . x.y <= (z/2+z/2+x+y)^4/4^4 = (x+y+z)^4/4^4 <=> z²xy <= (x+y+z)^4/4^3 <=> z²xy <= (x+y+z).32xyz/4^3 <=> xyz(x+y+z)/2 >= z²xy <=> x+y>=z
donc z<=x+y=1-z <=> z<=1/2
or xy=1/32z donc xy=t >= 1/16 (sauf erreur)

beautiful mind a écrit:

! 3ad tverifier! asahbi c'et
clairement faux!

et quoi alors ??? pk blamer ??