<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

MouaDoS a écrit:

{}{}=l'infini a écrit:

trouver tous les fonctions de IR^2 ==> IR^2
vérifiant :

yf(2x) - xf(2y) = 2xy (x^2 -y^2)

yf(2x) - xf(2y) = 2xy (x^2 -y^2) = y.2x^3 - x.2y^3

D'Ou : f(x)= 2^(1/3).x^3 est la seule solution !


Sauf erreur !!

où est la démonstration

{}{}=l'infini a écrit:

MouaDoS a écrit:

{}{}=l'infini a écrit:

trouver tous les fonctions de IR^2 ==> IR^2
vérifiant :

yf(2x) - xf(2y) = 2xy (x^2 -y^2)

yf(2x) - xf(2y) = 2xy (x^2 -y^2) = y.2x^3 - x.2y^3

D'Ou : f(x)= 2^(1/3).x^3 est la seule solution !


Sauf erreur !!

où est la démonstration

Puisque : yf(2x) - xf(2y) = y.2x³ - x.2y³ -- > Donc Il est Clair que :

f(2x)=2x³ ==> f(x)=2^(1/3).x^3 !

tu viens de trouver qu'une fonction qui verifie la condition mais tu n'as pas qu'elle est unique- non?s
sauf erreur

houssa a écrit:

salam

f : IR² ------------> IR² : c'est faux

car il faudrait trouver f(x,y) = .....??

.................................................................
je pose : y = 1/2 et x = t/2

====> 1/2.f(t) - t/2.f(1) = t.(1/2).( t²/4 - 1/4)

===> f(t) = f(1).t + t(t²-1)/4

f(1) arbitraire
....

c ça ; ton tour houssa ; je souhaite que tu ne seras pas dérangé : à +

EDIT:oui,je pense que MR.houssa a raison,car reciproquement la fonction f(x)=x(x²-1)/4+x.c ou c est une constante reelle verifie les donnes

Figo a écrit:

f(1) n est pas arbitraire.

pourquoi ??

A toi mr.houssa !

salam

mon exo est simple :

Trouver 3 entiers naturels : X , Y , Z tels que:

X/7 + Y/11 + Z/13 = 0, 946 053 946 053 .............

où le bloc 946053 est répété indéfiniment..

...............................................

En multipliant les deux côtés de l'égalité par 7*11*13, on a :

143X + 91Y + 77Z = 947

<==> 143X + 91Y = 947 - 77Z

<==> 11X + 7Y = (947 - 77Z)/13 où Z est compris entre 0 et 12.

En tentant un cas par cas, on trouve que 947 - 77Z n'est divisible par 13 que lorsque Z = 2.

On a donc :

11X + 7Y = 61 où X est compris entre 0 et 5 et Y est compris entre 0 et 8.

Pour X = 0, l'égalité est fausse quel que soit Y de [0,8].
Pour X = 1, l'égalité est fausse quel que soit Y de [0,8].
Pour X = 2, l'égalité est fausse quel que soit Y de [0,8].
Pour X = 3, l'égalité est vérifiée pour Y = 4.

Les trois entiers naturels à trouver sont par conséquent : (3,4,2).

Ceci dit, cette solution n'est que par force brute, il se peut qu'il y ait une autre plus astucieuse.

{}{}=l'infini a écrit:

Moncefelmoumen a écrit:

f est une fonction paire

première ment f est impaire et n'est pas paire

donc t'as pas le droit de dire

f(2) + f(-2 ) = 0 ==> 2f(2) = 0

ce qui rend ton essai faux ..

assure toi elle n'est pas impaire elle est paire
Démonstration:
On pose x=-y≠0
yf(2x)-xf(2y)=2xy(x²-y²)
-xf(2x)-xf(-2x)=-2x²(x²-x²) (x²=y²≠0)

Donc f(2x)+f(-2x)=0 soit f(2x)=-f(-2x)
f est impaire faute d'inattention

Je continue la soluce dans quelques minutes

Ainsi la solution de matherror n'est pas compléte car il y a une infinité de triplets (X,Y,Z) vérifiant la condition de départ.(X=3)
Donc je peux poster maintenant mon exo.
(3,4,2) correspond à k=34

Bonjour Moncefelmoumen.

Certes, votre solution est plus complète car plus générale, mais je pense que la mienne suffit à la réponse de l'exercice qui ne demande de chercher que des entiers naturels. Et je ne pense pas qu'il y ait d'autres solutions dans IN à part le triplet (3,4,2).

Merci encore pour cette solution détaillée et à vous l'honneur de poser le prochain exercice.

a toi de poster le prochain exo

que je donne mon opinion au moins:

la solution donnée est incomplète

voici la solution

le départ est bon

A= 0,946053.....

10^6.A - A = 946053 ====> 999 999 .A = 946 053

===> A = 947/1001

1001 = 7.11.13

...........
pour la suite : X < 7 , Y < 11 et Z < 13 car A <1
====> 11.13.X + 7.13.Y + 7.11.Z = 947

modulo 7

11.13.X = 2 (7)

4.(-1).X = 2 (7)
-4X = 2 (7)
3X = 2 (7)
la somme ====> -X = 4 (7) ====> X = -4 (7)

===> X = 3 (7) donc X = 3
.......................................................

modulo 11

7.13.Y = 1 (11)
-4.2.Y = 1 (11)
-8Y = 1 (11)
3Y = 1 (11)
9Y = 3 (11)
===> Y = 4 (11) donc Y = 4

..............................

modulo 13

7.11.Z = 11 (13)
-6.(-2).Z = 11 (13)
12.Z = 11 (13)
-Z = 11 (13)
===> Z = -11 (13)
Z = 2 (13) Donc Z = 2

.................conclusion

3/7 + 4/11 + 2/13 = 0, 946053 946053 ......

................................................

T'en a de l'intuition effectivement il existe un seul triplet positif. pour matherror.

M.Houssa le nombre périodique est facilement transformable en fraction je n'ai pas trouvé utile d'écrire ce procédé très classique.

bref je poste le prochain exo:
Calculez

j'ai trouvé
S= 1/8(3n+3+4.(n+1).cos(4(xn+x)cos(4xn)) + (n+1)cos(2(x+xn)cos(2xn) )

pr la methode jai simplifié chaque sigma
1ere : 1/2(cos2x+ cos 6x + cos 10x +...cos(2n+1)2x)
jlé ecri de lautre sens 1/2(cos(2n+1)2x +......+cos2x)

j'ai sommé les 2 : 1/2( 2(n+1).cos(2(x+xn))cos(2xn) )
puis jai divisé sur 2

1/2 ( (n+1).cos(2(x+xn))cos(2xn) )

la meme chose pr lautre sigma

reBonjour

Effectivement la méthode se base sur 'les séries téléscopiques',une série qu'on a étudié cette année certains exos du manuel c'est quand les termes s'annulent un à un et il ne reste que le premier et le dernier.
voir http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_t%C3%A9lescopique

Bref on crée cette série en substituant

de même pour la deuxième somme ,reste calcul.

Maganiste tu peux poster ton exo je pense que c'est correct.

car cos2x+cos((2n+1)2x) = 2cos(2x+2nx)cos(2nx) et jai remarké que ca se repete ds tout les termes quon a sommé 2 par deux n+1 fois donc 2(n+1).cos(2(x+xn))cos(2xn) puis la division sur 2 d'ou (n+1)cos(2(x+xn))cos(2xn)

pr la formule ca se reppete (n+1) fois donc je reviens a la formule c'est

S=1/8(3n+3+(n+1).cos(4(xn+x)cos(4xn)) + 4(n+1)cos(2(x+xn)cos(2xn) )

SAUF ERREUR BIEN SUR

Bjr !


La premiere Sigma :

1/2.Sum(variant de 0->n)[Cos((2k+1)2x)] = 1/2. [ Cos((n+1)2x).( Sin((n+1)2x)/Sin(2x)]
( On Obtient le Resultat , EN MULTIPLIANT LA SOMME PAR Sin (2x) , Puis On applique SIn(x).CoS(x) .. Puis On divise par sin(2x)) .. Vous pouvez vous assurez A l'aide d'une simple Recurrence )

Meme chose pour la deuxieme ! On trouve :

1/8.Sum(variant de 0->n)[Cos((2k+1)4x)]=1/8.[ Cos((n+1)4x).( Sin((n+1)4x)/Sin(4x)] ... Donc On Trouve :


S= 3(n+1)/8 + 1/2.[ Cos((n+1)2x).( Sin((n+1)2x)/Sin(2x)] + 1/8.[ Cos((n+1)4x).( Sin((n+1)4x)/Sin(4x)]


Ps : Je me suis assuree pour les valeurs n=0,1,2 ! vous pouvez vous assurer ! On attend ton exo Maganiste

Re

mon exo est assez simple
voila : Soit E et F deux ensembles finies et non vides tel que :
cardE=n et CardF= p avc p>= 3 et n>=3

quel est le nombre d'applications f de E vers F tel que Card(f(E))= 3

j'ai pa b1 compris la question ;

donc ma réponse : 3 ^ p

???