<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

jai utlisé (10^6-1)² + (2*10^3)² = x²


10^12 +2*10^6+1 = x²

(10^6+1)² = x²

donc x= 10^6 + 1 ou x= -10^6-1

voice ce que je pense avoir trouvé pour le premier :

(x-1)/4£Z <==> x=4k+1 (k£Z)

remplaçons E(V(4k+1))=k

or, on sait que E(V(4k+1))<=V(4k+1)<E(V(4k+1))+1

donc k<=V(4k+1)<k+1

en résolvant cette double inéquation on trouve les valeurs
de k: 3 et 4


réciproquement 13 et 17 sont des solutions!

pour le deuxième même méthode que maganiste

ui c juste salimt

tu px poster exo

ok alors voici mon exercice

a et b et c trois réels distincts et vérifiant a+1/b=b+1/c=c+1/a=p

montrer que: abc=-p

salimt pas de parentheses ?

EDIT:l'exo est correcte

FIGO est ce que c'est (a+1)/b ou a + (1/b) ?

c'est a + (1/b).
je posterai ma preuve ds quelques minutes pr passer à un autre exo (puisce qu'il parait que salimt n'est plus la)

a+1/b=p
ab+1=pb

De meme pour : bc+1=pc , ac+1=pa

ab+1=pb
<=> ab=pb-1
<=> abc=pbc-c
<=> abc+p = pbc+p-c = p(bc+1)-c = p^2*c-c = (p^2-1)c
<=> abc+p= (p^2-1)b , abc+p = (p^2-1)a

<=>abc+p= (p^2-1)c = (p^2-1)b = (p^2-1)a
et puisque a,b,c sont distincts :

--> p^2-1=0
p= 1 ou p=-1

D'ou : abc+p=0 ... CQFD

on a
a-b=(b-c)/bc et b-c=(c-a)/ac et c-a=(a-b)/ab
en multipliant on trouve que a²b²c²=1
et aussi en multipliant les 3egalites de données et simplification on trouve que:
p^3 = 3p + 2/abc
si abc=1,
l equation equivaut p^3-3p-2=0 => (p+1)²(p-2)=0 => p=-1 (p n est pas egale a 2 car a,b et c sont distincts)
si abc=-1
l equation equivaut p^3-3p+2=0 => (p-1)²(p+2)=0 => p=1 (car a,b et c sont distincts)

je pense que le raisonnement de mouados est juste

perfect mouaDoS vas y poste ton exercice

Bjr !

c'est inspiré d'un exo d'olympiade de cette année
( x = alpha, y = bêta , A l'expression à calculer)
nous avons tan x + tan y = - p et tanx*tan y = q
tan ( x+y ) = -p/( 1-q )
sin^2(x+y) = 1 - 1/(tan^2(x+y) + 1 )
p sin( x+y) cos( 1+y) = p tan ( x+y) cos^2 (x+y) = p tan ( x+y)/( 1+ tan^2(x+y) )
q cos^2 (x+y) = q / 1 + tan^2(x+y)
on remplace tan (x+y ) par p/q-1
après du simple calcul on obtient :
A = 1 + ( p^2+(q-1)^2/(q-1) ) / (p^2+ (q-1)^2/(q-1)^2) = 1 + (q - 1)
A = q

BJR

je considere alpha = a et beta = b

tana.+tanb= -p et tan a . tan b = q

donc tana+tanb =-p et 1-tan a.tan b =1-q

on divise et on trouve tan(a+b)= p/q-1

sin(a+b)/cos(a+b) = p/q-1


d'une autre part on trouve cos²(a+b) = (q-1)²/(p²+(q-1)² )

donc

sin²(a+b) = p²/(p²+(q-1)² )

q.cos²(a+b) = (q.(q-1)²)/(p²+(q-1)² )

p.sin(a+b).cos(a+b) = (p.(q-1)²)/(p²+(q-1)²).(q-1)


en sommant et apres taw7id ma9amates on trouve q


SDAUF ERREUR

juste! ( q<>1 pas 0)
milor, à toi de poster un new exo

pr la simplification w7dt ma9amates et jai trouvé


(q.(q-1)^3 +p²(q-1)+p²(q-1)² ) / (p²+(q-1)²).(q-1)


q.(q-1)²+p²+p².(q-1) / p²+(q-1)²

= P².q+q(q-1)²/p²+(q-1)²

= q

oué milor tu px poster

voilà l'exo :
1) - determinez x et y et z tel que x + y + z = 3 et xyz maximal
établir le cas général ( a1 +a2 +a3 + ... +an = k et a1*a2*...*an maximal ) ; ( sans démo )
2 ) - en déduire la formule de l'IAG :
( a1+a2+..+an)^n >= n^n ( a1*a2....an )
Bonus à partir de l'IAG : demontrer que (n+1)^(n+1)>= 2^n (n+1)! ( pensez à exprimer an en fonction de n )
bonne chance

(x,y,z)£IR^3 ou bien IN^3 ?

(x,y,z)£IR^3 biensur !

x et y et z appartiennent à IR

à IR?

oui oui, pour travailler sur le cas général ! ^^