<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

1) On sait que : (x+y+z)/3 >= (xyz)^(1/3)

d'ou xyz=1 <=> x=y=z=1

2) On deduit donc que a1.a2.a3.....an atteint son maximum si a1=a2=......=an

prenant l'exemple :

si a1 # a2

<=> (a1-a2) # 0 <=> (a1 - a2)^2 > 0
<=> (a1)^2 + 2a1.a2 + (a2)^2 > 4a1.a2
<=> ( a1 + a2 )^2 > 2^2.a1.a2

d'ou On generalise : ( a1+a2+a3+...+an)^n > n^n.a1.a2.a3....an

avec egalite si a1=a2=a3=...=an comme j'ai deja dis !

1)
(x+y+z) (y+z+x)(z+x+y) >=(3 . 3*Vxyz ) ^3
>= 27 xyz
donc :
(x+y+z)^3 >= 27 xyz avec égalité si x=y=z=1

2) (sans démo !!)
alors (a1 +....+an) >= n(a1....an) ^(1/n)
égalité (valeur maximale de a1...an s'atteint quand )
a1 = a2 ....=an = k/n

3)
on a : (a1 +....+an) >= n(a1....an) ^(1/n)
enlever à ^n

( a1+a2+..+an)^n >= n^n ( a1*a2....an )

4)
(n+1)^(n+1) >= 2^n (n+1)
<==> (déviser par n+1)

(n+1)^n >= 2^n(n)
c.q.v
car d'autre part
d'après IAG :
(n+1)^n >= 2^n(n*1) = 2^n (n)

pr mouados : c juste ce que tu as fait
seulement, une petite remarque : tu as répondu à la 1ère qst en utilisant l'IAG pr n = 3, le but de l'exo est de démontrer cette inégalité
pr l'infini : c juste , mais j'ai la même remarque
et pr la qst 3, tu as utilisé l'IAG pr démontrer l'IAG :p
pr la qst 4, remarque que j'ai mis (n+1)! ( factoriel )
donc est ce que qlq pourrait démontrer que x=y=z=1 sans utiliser une inégalité qu'on obtient par l'IAG ? ( pensez à l'analyse )

Pour le bonus :

On a a : n! =< n^n ( facile a demontrer )

donc en Multipliant par (n+1) : (n+1)! =< (n+1)*n^n

et : On a : n =< (n+1) <=> n^n =< (n+1)^n

D'ou : (n+1)! =< (n+1)*n^n =< (n+1)*(n+1)^n = (n+1)^(n+1)

mais on doit démontrer que 2^n *(n+1)! =< (n+1)^(n+1)

il est évident que :

2(n+1)^(n+1) =< (n+2)^(n+1)
on sauvegarde cette inégalité ..


par réccurence : on va démontrer que
(n+1)^n >= 2^n (n)!
pour 0 est clair
on suppose qu'il est vérifié au rang n et on va démontrer que

(n+2)^(n+1) >= 2^(n+1) (n+1)!
(n+2)^(n+1) >= 2^n (n)! * 2(n+1)

(n+2)^(n+1) / 2(n+1) >= 2^n (n)!

on a par supposition :
(n+1)^n >= 2^n (n)!

donc il suffit de démontrer que

(n+2)^(n+1) / 2(n+1) >= (n+1)^n

qui équivalent à la première inégalité qui est juste .

mais il a dit demontrer en utilisant le IAG

Pour le bonus, j'ai trouvé une bonne solution:

b1 jwé !

Joli Oussama !

c'est la solution idéale oussama

maganiste a écrit:

c'est la solution idéale oussama

Merci

exactement oussama c la solution que j'attendais ( en disant exprimer an en fonction de n )
mnt, pr la première qst ? :p

1)
(x+y+z) (y+z+x)(z+x+y) >=(3 . 3*Vxyz ) ^3
>= 27 xyz
donc :
(x+y+z)^3 >= 27 xyz avec égalité si x=y=z=1

d'après la theoreme qui dit :

(a1^3 + ...an^3) (b1^3 +.... + bn^3) (c1^3 + ..... + cn^3 )

>= ( a1.b1.c1 + a2.b2.c2 .......+ an.bn.cn) ^3

a1 = 3*Vx
a2 = 3*Vy
a3 = 3*Vz

b1 = 3*Vy
b2 = 3*Vz
b3 = 3*Vx

c1 = 3*Vz
c2 = 3*Vx
c3 = 3*Vy

c tout !

oui c'est juste, rien à dire ! mais :
on passe par (x+y+z)^3>= 3^3 (xyz) qui est une application de l'IAG pr n = 3 comme je l'ai déjà mentionné dans un message précédent, alors que le but est de démontrer la relation. ( n'empeche, c'est juste )
sinon, je propose de chercher une solution plus astucieuse en utilisant les fonctions, c'est une bonne méthode qui permet de résoudre ce genre d'exercices.

milor18 a écrit:

oui c'est juste, rien à dire ! mais :
on passe par (x+y+z)^3>= 3^3 (xyz) qui est une application de l'IAG pr n = 3 comme je l'ai déjà mentionné dans un message précédent, alors que le but est de démontrer la relation. ( n'empeche, c'est juste )
sinon, je propose de chercher une solution plus astucieuse en utilisant les fonctions, c'est une bonne méthode qui permet de résoudre ce genre d'exercices.

j'ai démontré (x+y+z)^3 >= 27 xyz
à partir d'une autre theoreme que IAG . je comprend pas pck tu l'as pas acceptée .

si si je l'accepte, j'ai bien dit que c'est juste !
mais j'ai proposé par la meme occasion une méthode qui utilise les fonctions :
en posant f(x)=xyz = xy( 3 - x - y) avec y un paramètre réel, ensuite on calcule la dérivé et on résoud f'(x)=0 ( où la fonction, càd xyz est maximal ) on remplace dans x + y+ z = 3 et on trouvera que x=y=z=1
( c une méthode utile quand il s'avère difficile de démontrer une inégalité comme dans ce cas là )
mais sinon, qui va proposer un exercice ? plusieurs ont résolu celui-ci de manières différentes !

milor18 a écrit:

si si je l'accepte, j'ai bien dit que c'est juste !
mais j'ai proposé par la meme occasion une méthode qui utilise les fonctions :
en posant f(x)=xyz = xy( 3 - x - y) avec y un paramètre réel, ensuite on calcule la dérivé et on résoud f'(x)=0 ( où la fonction, càd xyz est maximal ) on remplace dans x + y+ z = 3 et on trouvera que x=y=z=1
mais sinon, qui va proposer un exercice ? plusieurs ont résolu celui-ci de manières différentes !

Moi je donne ma voix à l'infini, car c'est lui qui a terminé l'exercice, je n'y ai contribué que d'une miette.
Mais faites vite, je m'inpatiente.

je suis d'accord vec toi oussama, vas y l'infini, poste un exo

d'accord ;

soient a,b,c,d,e des réels tels que

a+b+c+d+e = 8 et
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 16

quelle est la valeur maximale de c ?

d'après caushy shwartz :
(a^2+b^2+d^2+e^2)(1^2+1^2+1^2+1^2)>=(a+b+d+e)^2
equivaut à : 4(16-c^2)>=(8-c)^2
équivaut à c(5c-16)=<0
donc la valeur maximale de c est 16/5
sauf erreur

de crainte qu'il soit deja postee ..

Par C.S:

(a+b+d+e)^2 =< 4 ( a^2+b^2+d^2+e^2)

<=> ( 8-c )^2 =< 4(16-c^2 )

On resoud l'inequation : c =< 16/5 .. quand : a+b+c+d= 8-c = (40-16)/5=24/5=6/5+6/5+6/5+6/5 .. sauf erreur !

a toi Milor !