<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

pr cas d'égalité je pense que :

x1²+.....xn² = 1

oui il faut que x_1+...+x_n=1 et x1²+...+xn² = 1

car ds linequation on constate que l'egalite est quand x1²+....xn²=1

donc on doi trrouver ( x1+x2+.....xn +1)² =4

x1+......xn+1=2 ou x1+.....xn=-2(impossible)

donc xi+x2+.....xn = 1

je continue

xi+x2+.....xn = 1 donc faut que x1=x2=....=xn = 1/n

on remplace ds linequation


(n/n+1)²>= 4(1/n)

4>=4.(1/n)

donc pr legalité n=1

(1+1)²= 4(1) ce qui est vrai

maganiste a écrit:

je continue

xi+x2+.....xn = 1 donc faut que x1=x2=....=xn = 1/n

on remplace ds linequation


(n/n+1)²>= 4(1/n)

4>=4.(1/n)

donc pr legalité n=1

(1+1)²= 4(1) ce qui est vrai

je pense pas,essaye ac n=2 et x_1=1,x_2=0
meme chose pr Boomer

re

on a :

x1²+.......xn² =1
x1+........xn=1

x1(x1-1)+ x2(x2-1)+.........xn(xn-1) =0

x1-1<=0 et x1 >=0 donc le produit inf ou egale a 0.

pr que legalité se realise

x1(x1-1)=0 et x2(x2-1)=0 ...... xn(xn-1)=0

donc x1=1 ou x1=0 et x2=0 ou x2=1.........

maganiste a écrit:

re

on a :

x1²+.......xn² =1
x1+........xn=1

x1(x1-1)+ x2(x2-1)+.........xn(xn-1) =0

x1-1<=0 et x1 >=0 donc le produit inf ou egale a 0.

pr que legalité se realise

x1(x1-1)=0 et x2(x2-1)=0 ...... xn(xn-1)=0

donc x1=1 ou x1=0 et x2=0 ou x2=1.........

oui c'est juste maganiste
A toi !

RE
Voila un exo inspiré de notre 1er DS de logique
soit a £ IR*+
demontrez qu'il existe un N £ IN tel que :

(QLq soit n£ IN)(n>= N =====>2-a<(2n+1)/(n+2)<2+a )

prenons N=[3/a - 1] (partie entiere de 3/a - 1)
on va prouver :
(qlq soit N £ IN) : (n >= N ==> 2-a < (2n+1)/(n+2) < 2+a)
il est claire que (2n+1)/(n+2) < 2 < 2+a
d'autre part 2-a < (2n+1)/(n+2) <=> an+2a-3 >=0 <=> n >= 3/a - 2
(le cas ou 3/a =< 2 est claire)
ce qui est vrai !

Figo a écrit:

prenons N=[3/a - 1] (partie entiere de 3/a - 1)
on va prouver :
(qlq soit N £ IN) : (n >= N ==> 2-a < (2n+1)/(n+2) < 2+a)
il est claire que (2n+1)/(n+2) < 2 < 2+a
d'autre part 2-a < (2n+1)/(n+2) <=> an+2a-3 >=0 <=> n >= 3/a - 2
(le cas ou 3/a =< 2 est claire)
ce qui est vrai !

je pense que c'est pas complet
j'ai pas compris ce qui est en rouge

maganiste a écrit:

Figo a écrit:

prenons N=[3/a - 1] (partie entiere de 3/a - 1)
on va prouver :
(qlq soit N £ IN) : (n >= N ==> 2-a < (2n+1)/(n+2) < 2+a)
il est claire que (2n+1)/(n+2) < 2 < 2+a
d'autre part 2-a < (2n+1)/(n+2) <=> an+2a-3 >=0 <=> n >= 3/a - 2
(le cas ou 3/a =< 2 est claire)
ce qui est vrai !

je pense que c'est pas complet
j'ai pas compris ce qui est en rouge

(2n+1)/(n+2) < 2 <=> 2n+1 < 2n+4 ce qui est claire

oui

ta reponse est bonne mais elle n'est pas complete

Bonjour, je n'ai pas bien compris l'exercice. Mais d'après ce que j'ai compris, voilà la solution que je propose.

Pour montrer que :
Il existe un N £ IN ; Quel que soit n £ IN ; (n ≥ N =====> |(2n+1)/(n+2) - 2|< a.)
Nous allons montrer, par contre-apposée, que :
Quel que soit N £ IN ; Il existe un n £ IN ; ( |(2n+1)/(n+2) - 2|> a ====> n ≤ N. )

|(2n+1)/(n+2) - 2| > a ==> |-3/(n+2)| > a

==> 3/(n+2) > a

Ce qui est vérifié quelque soit N de IN.
Par exemple :
Pour N = 0, il existe n = 0 vérifiant ceci pour un a de IR*+ compris entre 0 et 1.
Pour N = 1, il existe n = 0 ou n = 1 vérifiant ceci pour un a de IR*+ compris entre 0 et 1.
Et cetera.

si 3/a - 2 =< 0 il suffit de prendre N=0
si 3/a - 2 > 0,
prenons N=[3/a - 1] (partie entiere de 3/a - 1)..
on va prouver :
(qlq soit N £ IN) : (n >= N ==> 2-a < (2n+1)/(n+2) < 2+a)
on sait que (2n+1)/(n+2) < 2 < 2+a
d'autre part 2-a < (2n+1)/(n+2) <=> an+2a-3 >=0 <=> n >= 3/a - 2
et puisce que n >=N =[3/a - 1] >= ( 3/a -1 )-1 alors n >= 3/a - 2,
alors on a trouvé un N £ IN qui realise l'implication demandée.
Par exemple,pr a=1,N=2 ce qui donne : (qlq soit N £ IN) : (n >= 2 ==> 1 < (2n+1)/(n+2) < 3)
...

j'espere que c est plus claire mnt

oui bien FIGO te reste juste la conclusion

donc N= sup( 0,E(3/a-1) )


tu px poster ton exo

merci maganiste

il est evident que le domaine de definition est ]-00 ; -rac2]u[rac(2);+00[
*sur rac2 ; +00
on a
(y-x)(x+y)+2y(x-y)=0
(z-y)(z+y)+2z(y-x)=0
(x-z)(x+z)+2x(z-y)=0
supposons que x<y<z
donc on obt 4 cas y=-x y=x x=z et y=0(impossible)
d'ou 3 solut
(rac2;-rac2;rac2);(-rac2:rac2;rac2);(rac2;rac2;-rac2)
*sur -00;-rac2
(rac2;-rac2;-rac2);(-rac2:rac2;-rac2);(-rac2;-rac2;rac2)

dou 6 solutions

Bonsoir
jalalium le triplet (rac2,-rac2,z) est clairement faux ( x+2/x=2y>0)

j'éviterai de parler de x et y car il en est de même...

jalalium a écrit:

il est evident que le domaine de definition est ]-00 ; -rac2]u[rac(2);+00[
*sur rac2 ; +00
on a
(y-x)(x+y)+2y(x-y)=0
(z-y)(z+y)+2z(y-x)=0
(x-z)(x+z)+2x(z-y)=0
supposons que x<y<z
donc on obt 4 cas y=-x y=x x=z et y=0(impossible)
d'ou 3 solut
(rac2;-rac2;rac2);(-rac2:rac2;rac2);(rac2;rac2;-rac2)
*sur -00;-rac2
(rac2;-rac2;-rac2);(-rac2:rac2;-rac2);(-rac2;-rac2;rac2)
dou 6 solutions

je pense que tu n'es pas inscrit donc tu n'as pas le droit de participer,puis ta solution est clairement fausse,tt ce que t'as fait c'est donner des indices pr les autres .

(Bienvenue au forum )

jalalium a écrit:

il est evident que le domaine de definition est ]-00 ; -rac2]u[rac(2);+00[
*sur rac2 ; +00
on a
(y-x)(x+y)+2y(x-y)=0
(z-y)(z+y)+2z(y-x)=0
(x-z)(x+z)+2x(z-y)=0
supposons que x<y<z
donc on obt 4 cas y=-x y=x x=z et y=0(impossible)
d'ou 3 solut
(rac2;-rac2;rac2);(-rac2:rac2;rac2);(rac2;rac2;-rac2)
*sur -00;-rac2
(rac2;-rac2;-rac2);(-rac2:rac2;-rac2);(-rac2;-rac2;rac2)

dou 6 solutions

Dites les gars , dans tel systeme a-t-on le droit de supposer comme ce qui est en gras ?

MouaDoS a écrit:

jalalium a écrit:

il est evident que le domaine de definition est ]-00 ; -rac2]u[rac(2);+00[
*sur rac2 ; +00
on a
(y-x)(x+y)+2y(x-y)=0
(z-y)(z+y)+2z(y-x)=0
(x-z)(x+z)+2x(z-y)=0
supposons que x<y<z
donc on obt 4 cas y=-x y=x x=z et y=0(impossible)
d'ou 3 solut
(rac2;-rac2;rac2);(-rac2:rac2;rac2);(rac2;rac2;-rac2)
*sur -00;-rac2
(rac2;-rac2;-rac2);(-rac2:rac2;-rac2);(-rac2;-rac2;rac2)

dou 6 solutions

Dites les gars , dans tel systeme a-t-on le droit de supposer comme ce qui est en gras ?

generalement non,sauf si tu veux atteindre un contradiction pour prouver que x=y=z

Figo a écrit:

MouaDoS a écrit:

jalalium a écrit:

il est evident que le domaine de definition est ]-00 ; -rac2]u[rac(2);+00[
*sur rac2 ; +00
on a
(y-x)(x+y)+2y(x-y)=0
(z-y)(z+y)+2z(y-x)=0
(x-z)(x+z)+2x(z-y)=0
supposons que x<y<z
donc on obt 4 cas y=-x y=x x=z et y=0(impossible)
d'ou 3 solut
(rac2;-rac2;rac2);(-rac2:rac2;rac2);(rac2;rac2;-rac2)
*sur -00;-rac2
(rac2;-rac2;-rac2);(-rac2:rac2;-rac2);(-rac2;-rac2;rac2)

dou 6 solutions

Dites les gars , dans tel systeme a-t-on le droit de supposer comme ce qui est en gras ?

generalement non,sauf si tu veux atteindre un contradiction pour prouver que x=y=z

et Pour x>= y >= z ?

MouaDoS a écrit:

et Pour x>= y >= z ?

meme chose ;car ça se peut que les expressions du système ne soient pas symetriques et que z=max{x,y,z}

p.s:une solution très élementaire existe

salam
remarques :

1) (x,y,z) solution <===> (-x,-y,-z) solution

2)le système conduit à :

x² + 2= 2xy
y² + 2= 2yz
z² + 2= 2zx

donc x,y,z sont de mêmes signes
on peut donc chercher les solutions positives

soit (x,y,z) une solution , les rôles étant cycliques

on peut supposer : x =< y =< z

===> 2xy =< 2yz =< 2zx comme ils sont # 0
===> y =< x

donc x=y et par suite y=z

==> x² = 2

S = { (V2,V2,V2) ; (-V2,-V2,-V2) }

.

oui bien houssa.
à toi mtn