<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

Je ne sais pas si vous connaissez les équations caractéristiques! Mais ça aidepour une premiere méthode, l'autre méthode est bien connu la récurrence,la troisieme méthode est la factorisation avec une definitions d'un autre suite v_n qui soit arithmetiqe soit géometrique soit arithmeticogéométrique et le terme general de ces dernieres est connu
aussi !!
Bonne chance!

effectivement ; Vn=U(n+1)-3Un d'ou V(n+1)=2Vn

puis Wn=Un+Vn on aura W(n+1)=3Wn

ouais
mais je m'attendais a des reponses de la part des participants..

allezz !!

Bjr !


1) methode : Recurrence Double !

On suppose que U_n = 3.2^{n} - 3^{n} .. U_{n+1}=3.2^{n+1} - 3^{n+1}

et On demontre que : U_{n+2}= 3.2^{n+2} - 3^{n+2}

On a U_{n+2} = 5U_{n+1} - 6U_{n}
<=> U_{n+2} = 5(3.2^{n+1} - 3^{n+1}) - 6(3.2^{n} - 3^{n})
<=> U_{n+2} = 30.2^{n} - 15.3^{n} - 18.2^{n} + 6.3^{n}
<=> U_{n+2} = 12.2^{n} - 9.3^{n} = 3.2^{n+2} - 3^{n+2}

2) methode : Equations caracteristiques (a Voir le cour du terminal ) :

U_{n+2} - 5U_{n+1} + 6U_{n} =0 <=> x^2 - 5x + 6 = 0

--> x=2 , x=3

<=> U_{n}= a.2^{n}+b.3^{n}

U_{0}= a+b = 2 , et U_{1}= 2a+3b = 3 --> on resoud le systeme : a+b=2 , 2a+3b=3 <=> a=3 et b=-1

<=> U_{n}= a.2^{n}+b.3^{n}=U_{n}= 3.2^{n} - 3^{n} .. Sauf erreu

oui bien
j'ai une autre methode:
U_(n+2) = 5U_(n+1) -6U_n

U(n+2)-2U(n+1) = 3( U(n+1)-2U(n) )

je poste Vn=U(n+1)-2U(n)

donc V(n+1) = 3V(n)

Vn geometrique donc Vn=V0. 3^n = -3^n

d'autre part

U(n+2)-3U(n+1) =2(U(n+1)-3U(n) )

je pose U(n+1)-3U(n) = W(n)

W(n+1)=2Wn geometrique

donc Wn = -3.2^n

donc on a :

U(n+1)-3U(n)=-3.2^n
U(n+1)-2Un=-3^n


donc Un= 3.2^n -3^n

a toi mouados mtn

1) 3.A_n=(2n+1).B_n alors si 2n+1=3k : PGCD(A,B)=B,si 2n+1 n'est pas multiple de 3 alors PGCD(A,B)=B/3.

2) on sait que PGCD(A,B).PPCM(A,B)=A.B,alors si 2n+1=3k on aura PPCM(A,B)=A,sinon PPCM(A,B)=3A

Voila c'est ca ! a toi l'honneur !

j'ai une méthode mais pas sûr :S

(x-y-z)²=x²+y²+z²-2(xy+zx+yz)
alors (x-y-z)²>=0
==> x²+y²+z²>= 2(xy+ zx + yz)
==> x²+y²+z²+2xyz+1 >= 2(xy+zx+yz)+2xyz+1 >= 2(xy+zx+yz)
pck 2xyz>=0
d'ou on conclut

qlqsoit (x,y,z)£(IR+)^3 : x² + y² + z² + 2xyz + 1 >= 2.(xy + yz + zx)

amjad92b a écrit:

j'ai une méthode mais pas sûr :S

(x-y-z)²=x²+y²+z²-2(xy+zx+yz)
alors (x-y-z)²>=0
==> x²+y²+z²>= 2(xy+ zx + yz)
==> x²+y²+z²+2xyz+1 >= 2(xy+zx+yz)+2xyz+1 >= 2(xy+zx+yz)
pck 2xyz>=0
d'ou on conclut

qlqsoit (x,y,z)£(IR+)^3 : x² + y² + z² + 2xyz + 1 >= 2.(xy + yz + zx)

faux..........

oui ta raison !

Pour montrer que x²+y²+z²+2xyz+1 ≥ 2(xy+yz+zx), on va montrer que la différence d est supérieure ou égale à 0.

On a :

d = d(1) = x²+y²+z²+2xyz+1 - 2(xy+yz+zx)
= (x²-2xy+y²) + (z²-2z+1) + (2z-2yz) + (2xyz-2zx)
= (x-y)² + (z-1)² + 2z(1-y) + 2xz(y-1)
= (x-y)² + (z-1)² + (y-1)(2xz-2z)
= (x-y)² + (z-1)² + 2z(x-1)(y-1)

Par le même procédé, on montre que :
d = d(2) = (y-z)² + (x-1)² + 2x(y-1)(z-1)
et d = d(3) = (z-x)² + (y-1)² + 2y(z-1)(x-1)

Puisque x et y et z sont des réels positifs alors :

Si x ≤ 1, y ≤ 1 et z ≤ 1 alors d(1) ≥ 0 ==> d ≥ 0.
Si x ≤ 1, y ≤ 1 et z > 1 alors d(1) ≥ 0 ==> d ≥ 0.
Si x ≤ 1, y > 1 et z ≤ 1 alors d(3) ≥ 0 ==> d ≥ 0.
Si x ≤ 1, y > 1 et z > 1 alors d(2) ≥ 0 ==> d ≥ 0.
Si x > 1, y ≤ 1 et z ≤ 1 alors d(2) ≥ 0 ==> d ≥ 0.
Si x > 1, y > 1 et z ≤ 1 alors d(1) ≥ 0 ==> d ≥ 0.
Si x > 1, y ≤ 1 et z > 1 alors d(3) ≥ 0 ==> d ≥ 0.
Si x > 1, y > 1 et z > 1 alors d(1) ≥ 0 ==> d ≥ 0.

On en déduit que x² + y² + z² + 2xyz + 1 - 2(xy + yz + zx) ≥ 0.
Et par conséquent : x² + y² + z² + 2xyz + 1 ≥ 2(xy + yz + zx).

A toi Matherror !

p.s:tu pouvais supposer des le début,sans perte de generalite,que (x-1)(y-1) >= 0 (selon le principe des tiroirs) alors (x-y)² + (z-1)² + 2z(x-1)(y-1) >= 0.

Tout à fait Figo, mais j'ai préféré détailler de crainte que cette généralité ne soit pas évidente à tout le monde.. Bref, voilà l'exercice que je propose :

Déterminer toutes les fonctions f : IR ---> IR vérifiant :
- ∀ x ∈ IR ; f(x) # 0.
- ∀ (x,y) ∈ IR² ; f(x/2+y/2)[f(x)+f(y)] = 2f(x)f(y).

Bonjour everyone,
en ce qui concerne l'inégalité, Je n'ai pas lu la solution de Mr.matherror, mais l'inégalité est aussi belle qu'elle aie une belle solution.
My solution:
L'inégalité équivaut à:

Par Schur:

alors il suffit de prouver que:
où encore
ce qui n'est qu'une simple application d'Am-Gm:
et
d'où on déduit notre inégalité, avec égalité si et seulement si

@je m'excuse si mon interuption vous a déranger, et Bonne Continuation dans votre jeu.

Matherror, proposes une solution où une piste, pour que le jeu d'été ne se bloque pas là !

Effectivement cet exo est un peu coriace f(0) est complexe a trouver alors je pose un paramètre qui trouve f(0) résout l'exo.

Exactement monsieur Moncef.
Il y avait aussi une résolution astucieuse en passant par la fonction inverse : 1/f.

À vous de poser le prochain exercice !

Matherror a écrit:

Exactement monsieur Moncef.
Il y avait aussi une résolution astucieuse en passant par la fonction inverse : 1/f.

À vous de poser le prochain exercice !

t'es sur ?
je pense qu'il faut revoir la 3ème ligne de Moncefelmoumen !

Ah oui en effet, faute d'inattention, désolé.

Bon, voilà une piste à suivre en tout cas : Pensez à 1/f .

jé pa cmp pourquoi f(0 )=1
il se peut aussi f(0 )=0