<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

Si, je pense que c'est valable, tu peux vérifier.

P.S.: J'ai enlevé 5+4k car elle est comprise dans 1+4k.

pr k=2 n=9 ca marche pas

maganiste a écrit:

pr k=2 n=9 ca marche pas

Oui, mais ma réponse est :

Matherror a écrit:

n £ (( [ (1 + 4k ; 3+4k ) / k £ IN ] - 3IN ))

Donc les nombres n appartenant à 3IN ( c.à.d n = 0mod3 ) sont à retirer.

Matherror a écrit:

maganiste a écrit:

pr k=2 n=9 ca marche pas

Oui, mais ma réponse est :

Matherror a écrit:

n £ (( [ (1 + 4k ; 3+4k ) / k £ IN ] - 3IN ))

Donc les nombres n appartenant à 3IN ( c.à.d n = 0mod3 ) sont à retirer.

oui c'est bon mtn, tu px poster stp la solution complete

je reviens :

309 = 3.103

20= -1 (3) ; 13= 1 (3) ; 7= 1 (3)

===>A = 20^n - 13^n - 7^n = (-1)^n -2 (3)

= (-1)^n + 1 (3) =======> il faut que n soit impair déjà

............................................
par conjecture ( des tests) et une bonne calculatrice

A divisible par 103 pour n = 6k+1 ou n= 6k +5

tentez par récurrence (avec un peu de patience)

................................................................................

houssa tu px poster un autre exo puiske personne n'a repondu

d'accord : un exo sans réponse (posté sous titre : géométrie 4+)

un triangle isocèle ABC : AB = AC = 20

D sur [AB] et E sur [AC] / AD = AE = 12

(BE) et (CD) se coupent en F

l'aire du quadrilatère ( ADFE)= 24

Trouver l'aire de (BCF) ?

........................................................................

Pour l'exercice précédent, voilà la démonstration que je propose :
http://rapidshare.com/files/251799037/Maths.doc.html

parfait

(géométrie 4+) a été résolu par Rachid en dehors du jeu .

Si vous permettez je le change par celui là:
............................

ABC un triangle : BC=a , AC=b , AB=c

la bissectrice int de ACB coupe [AB] en D .

Montrer que : CD = 2ab.cos(C/2) / (a+b)

.........................................

Mr Houssa est ce que ABC est un triangle rectangle ??
pck je trouve qu'il faut qu'il soit rectangle en A pour aboutir à votre résultat

++

j'ai vérifié l'énoncé d'origine (olympiade 1969 canada)

il s'agit bien d' un triangle quelconque

................

penser aux aires......

.........................

jé trouvé une solution san calculer les aires mais elle est un peu longue je vais la poster aprés quelque minutes

Salut:

on a :





d'ou


et on a: ; car

()

d'ou


et on doit prouver que :



et on a: avec CDB=D et CDA=D'

;

et en appliquant les lois de sinus par la même facon on aurra:



donc on doit prouver que








et on a:



donc avec(D+D'=pi) on a



Done !

bJr...
en voici une solution plus courte...
soit H le projeté orthogonal de D sur [BC]
donc sin(C/2)=DH/DC-----> sin(C/2)xDC=DH
alors la surface de DBC est :
s=DHxa/2=sin(C/2)xDCxa/2
---------------------------------------------------
soit H' le projeté orthogonal de D sur [AC]
sin(C/2)=DH'/DC-------->sin(C/2).DC=DH'
alors la surface de ADC est :
s'=DH'xb/2=sin(C/2).DCxb/2
-----------------------------------------------------
on sait que la surface de ABC est S=ab.sin(C)/2
je viens de voir une relation qui s'agit de:
1/2*sin(C)=sin(C/2).cos(C/2)
alors:S=ab.sin(C/2).cos(C/2) (1)
--------------------------------------------
et on a S=s+s' alors :S=sin(C/2).DCxb/2+sin(C/2)xDCxa/2
S=DC.sin(C/2)[(a+b)/2] (2)
--------------------------------------------------------------
de (1) et (2) on a :
ab.sin(C/2).cos(C/2)=DC.sin(C/2)[(a+b)/2]
<=>DC=2ab.cos(C/2)/(a+b)

BjR !


c a Toi Majdouline ! ( pour Einsteinium , ta réponse est Jolie ! mais n'est pas comptée car tu dois être Inscrit , et Désolé )

a Toi majdouline !

laissez la géometrie à part un peu svp !
bcp de géo c'est ennuyeux !

Soit A', B' et C' les milieux respectifs de BC, AC et AB et soit G l'intersection des médianes.
Nous considérons AA' = 9, BB' = 12 et CC' = 15.
Nous posons BC = a, AC = b, AB = c.

Nous avons GA' = AA'/3 = 3, GB' = BB'/3 = 4 et GC' = CC'/3 = 5
Et AG = 2AA'/3 = 6, BG = 2BB'/3 = 8 et GC = 2CC'/3 = 10

En appliquant le théorème d'Apollonius :
* Dans le triangle GAB, nous avons AG² + BG² = AB²/2 + 2GC'²
D'où AB² = 2(AG² + BG² - 2GC'²) = 100
D'où AB = 10

*Dans le triangle GAC, nous avons AG² + CG² = AC²/2 + 2GB'²
D'où AC² = 2(AG² + CG² - 2GB'²) = 208
D'où AC = 4√13

*Dans le triangle GBC, nous avons BG² + GC² = BC²/2 + 2GA'²
D'où BC² = 2(BG² + CG² - 2GA'²) = 292
D'où BC = 2√73

Soit p le demi-périmètre de ABC.
Nous avons p = (a + b + c)/2 = (5+2√13+√73)
D'après la formule de Héron, nous avons S² = p(p-a)(p-b)(p-c)
Donc S² = (5+2√13+√73)(-5+2√13+√73)(5-2√13+√73)(5+2√13-√73)
==> S² = [(2√13+√73)² - 25][25 - (2√13-√73)²]
==> S² = 5184
==> S = 72

wé c ça...c'est à toi matherror!!!!!

D'accord, voilà mon exercice :

Soient x, y et z trois réels strictement positifs tels que 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) = 2. Et soit f une fonction affine croissante.

1°)) Montrer que xy + yz + zx - xyz > 0
2°)) Montrer que f(x) + f(y) + f(z) ≥ 3f(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)])

f une fonction affine croissante quelconque????????
et puis croissante sur quel intervalle??????!!!!!!!!!!!!!!!!

Par définition, sauf si elle est définie par morceaux, une fonction affine est une fonction de la forme :
f : IR ---> IR
x ----> ax + b

La fonction f est croissante ( sur tout IR ) si a > 0.
Je sais que vous n'ignorez pas cela.
Donc je confirme, f est une fonction affine quelconque et croissante sur IR.

solution de la première question:
on a 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) = 2
donc 1/(x+y)<2 et 1/(y+z)<2 et 1/(z+x)<2
---> x+y>1/2 et y+z>1/2 et z+x>1/2
----> 2y+2z-1>0 et 2y+2z-1>0 et 2z+2x-1>0
------------------------------------------------------------
on a :
1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) = 2
<=>(y+z)(z+x)+(x+y)(z+x)+(x+y)(y+z)=2(x+y)(y+z)(z+x)
<=>3xy+3yz+3zx+x²+y²+z²=2(x²y+y²x+y²z+z²y+z²x+x²z+2xyz)
<=>3xy+3yz+3zx-3xyz=2(x²y+y²x+y²z+z²y+z²x+x²z)+xyz-x²-y²-z²
alors on doit montrer que :
2(x²y+y²x+y²z+z²y+z²x+x²z)+xyz-x²-y²-z²>0
x²(2y+2z-1)+y²(2x+2z-1)+z²(2x+2z-1)+xyz>0
et on a :2y+2z-1>0 et 2y2z-1>0 et 2z+2x-1>0
donc x²(2y+2z-1)+y²(2x+2z-1)+z²(2x+2z-1)+xyz>0
d'où 3xy+3yz+3zx-3xyz>0
<=> xy+yz+zx-xyz>0
P.S.j'essaie encore avec la deuxième

on suppose que :
f(x) + f(y) + f(z) ≥ 3f(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)])

<=> a(x+y+z)+3b ≥ 3a(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)]) +3b
a>0
<=> x+y+z ≥ 3(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)])>0
==> (x+y+z)² ≥ 9 [(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)]
==> (x+y+z)^3 ≥ 9(xy + yz + zx - xyz)

apres c facile a démontrer ça !

solution de la question 2:
posons f(x)=ax+b
f(x) + f(y) + f(z) ≥ 3f(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)])
<=>ax+ay+az+3b≥3a(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)])+3b
<=>x+y+z≥3(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)]) (1)
--------------------------------------------------------------------
d'apres les moyennes on a :
(x+y+y+z+z+x)(1/(x+y)+1/(y+z)+1/(z+x)≥9
<=>2(x+y+z)≥9/2
<=> x+y+z≥9/4
1/(x+y+z)≤4/9
√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)]≤√[(xy + yz + zx - xyz).4/9]
√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)]≤2/3√[(xy + yz + zx - xyz)
donc 3(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)])≤2√(xy + yz + zx - xyz) (2)
------------------------------------------------------------------------
de (1) et (2)...il suffit alors de montrer que:
x+y+z≥2√(xy + yz + zx - xyz)
<=>(x+y+z)²≥4(xy+yz+zx-4xyz)
par Schur on a :

et on a 1/(x+y+z)≤4/9
alors :
donc (x+y+z)²+4xyz≥4(xy+yz+zx)
d'où (x+y+z)²≥4(xy+yz+zx-xyz)
d'où le resultat voulu:
f(x) + f(y) + f(z) ≥ 3f(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)])