<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

amjad92b a écrit:

on suppose que :
f(x) + f(y) + f(z) ≥ 3f(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)])

<=> a(x+y+z)+3b ≥ 3a(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)]) +3b
a>0
<=> x+y+z ≥ 3(√[(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)])>0
==> (x+y+z)² ≥ 9 [(xy + yz + zx - xyz)/(x+y+z)]
==> (x+y+z)^3 ≥ 9(xy + yz + zx - xyz)

apres c facile a démontrer ça !

demontre le vas y!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Impeccable Majdouline .
À vous.

salam , bravo majdoulin :

j'ai une autre méthode facile pour montrer lapremière relation :

1/(x+y) < 1/x et 1/(y+z) < 1/y et 1/(z+y) < 1/z

donc 1/x + 1/y + 1/z > 2

multiplier les deux cotès par : xyz

on trouve xy + yz + zx > 2 xyz > xyz
conclure ...

bJr....
problème proposé:
et
montrer que:

P.S.dsl...c facile...g beau essayer de trouver des exos à la hauteur mais sans resultat.....
have fun

bonjour .

on remarque que : A_n < B_n .

donc on a : A^2_n < A_n.B_n et A_n.B_n < B^2_n .

ce qui veut dire : A^2_n < A_n.B_n < B^2_n : (*) .

or A_n.B_n = 1/2n+1 .

d'où de (*) on tire que : A_n < 1/V(2n+1) < B_n .

@ + .

Galois 94 a écrit:

bonjour .

on remarque que : A_n < B_n .

donc on a : A^2_n < A_n.B_n et A_n.B_n < B^2_n .

ce qui veut dire : A^2_n < A_n.B_n < B^2_n : (*) .

or A_n.B_n = 1/2n+1 .

d'où de (*) on tire que : A_n < 1/V(2n+1) < B_n .

@ + .

tu n'es pas inscrit mr galois....et fallait plutot demontrer ce qui est en rouge..on laisse la decision au modérateur du jeu

Bonjour Majdouline,
Ce n'est pas la peine de la démontrer, 1/2 < 2/3 , 3/4<4/5....,(2n-1)/2n<2n/2n+1) et on multiplie...

En tous cas, poste ton exercice Galois , personne n'est là pour le moment, tu étais plus rapide que moi^^

bonjour .

il suffit de comparer tèrme à tèrme et après faire le produit , étant donné que les tèrmes sont positifs .

tu inciste sur des trucs banales majdouline !!!!!!!!!!!!!.

@ + .

Galois 94 a écrit:

bonjour .

il suffit de comparer tèrme à tèrme et après faire le produit , étant donné que les tèrmes sont positifs .

tu inciste sur des trucs banales majdouline !!!!!!!!!!!!!.

@ + .

mais ...seulement j veux de la précision ...c'est à toi!!!!!

bonjour .

je propose l'exo suivant :

Déterminer tous les polynômes P(x) à coefficients dans IR tel que :

(x-8)P(2x) = 8(x-1)P(x) ; pour tout x dans IR .

@ + .

P(x) est une polynome
donc on a


ça veut dire que la dergré de coté gauche = celle de la droite
donc
d'où on détérmine que la degré de P(x) =3
donc P(x) s'écrit sous la forme P(x)=a(x+b)(x+c)(x+d)
avec a£R et b,c,d sont des racine
aprés un peu de calcule on trouve que b=-8 et c=-2 et d=-4
et enfin P(x)=a(x-(x-4)(x-2) / a£R

bonjour .

exact Kogu , à toi la balle .

@ + .

mercii,
soit f est une fonction dérivable n fois dans R (avec n £ N ) tell que :
1)_prouver que est une suite géométrique , et est une suite numérique
2)_calculer a_n et b_n en fonction de n et a_1 et b_1
3)_ on considère la fonction f tell que pr tt x £ R : f(x) =sin(2x)
montrer que f vérifie les conditions précédant , et determiner les suites et en fonction de n .
c'est tout !!

bonjour .

je passe , j'ai pas encore vu ça .

@ + .

f'(x) = a1f(x+b1)

f2(x) = (a1.f(x+b1))' = a1 f'(x+b1)

et d'après l'énoncé on prend le x atteint la valeur x+b1

f'(x+b1) = a1.f(x+b1+b1 ) = a1 f(x+2b1)

on a : f2 (x) = a1 f'(x+b1) = a1*a1*f(x+2b1)
= a1^2 f(x + 2b1)
donc a_2 = (a_1)^2
et b_2 = 2 (b_1)

m^me chose pour a_3 qui égale à a_1)^3 et b_3 = 3 b_1
par réccurence on démontre que :

a_n = (a_1)^n et b_n = n.b_1
pour 0 est claire
f^0 (x) = 1 f(x+0)

après la suposition on démontrera qu'elle vérifié aussi pour n+1

on a :
fn(x) = a_n f(x +b_n)
on dérive les deux cotés :
f^(n+1)(x) = a_n f'(x+b_n)
= a_n ( a_1 f(x + b_n + b_1 )

on par supposition a_n = (a_1)^n et b_n = n.b_1

donc f^(n+1)(x) = (a_1)^n+1 . f(x + (n+1)b_1 )

donc a_(n+1) = (a_1)^n+1 et b_ (n+1) = (n+1)b_1

je re pour 2)

2)

sin'(2x) = -1 * sin( 2x - pi/2 )
donc
a_1 = -1 et b_n = -pi/2
donc

a_n = (-1)^n
b_n = n*pi/2
et on trouvera que f vérifie les données .

je pense que c'est juste linfini
a toi

Oui , t'as raison MohE ,ta soluce est peut etre mieux claire que la mienne , et pour la racine 4 , j'ai posé x=4 pour avoir -4P(=24P(4) ===> d'où P(4)=0 car on a déja P(=0

puisque nous avons trouvé 3 racines ,alors la polynome P s'ecrit sous la forme précédant , c tt

salut ;

voilà l'exo :

Existe-il deux fonction f et g de IR --> IR

tel que

f ( g(x) ) = x^2 et g ( f(x) ) = x^3 .

bonne recherche !

salam:

f(g(x))=x² et g(f(x))=x^3

====> g(f(g(x)))=g(x²) = g(x)^3
====> f(g(f(x)))=f(x^3)= f(x)²

cas des polynômes :

si g(x) = a.x^n + ...........

g(x²)= a.x^2n + ........

g(x)^3 = a^3.x^3n + .........

donc : a^3 = a et 3n=2n =====> n=0 et a= 0 , 1 , -1

g(x) = 0 , g(x) = 1 , g(x) = -1

de même si f(x) = b.x^m + ........

f(x^3) = b.x^3m + .......

f(x)²= b².x^2m + ......

=====> 2m=3m et b²=b =======> m=0 et b= 0 , 1

===> f(x) = 0 ou f(x) = 1

dans tous les cas : fog et gof sont constantes ===> impossible

....................................

houssa a écrit:

salam:

f(g(x))=x² et g(f(x))=x^3

====> g(f(g(x)))=g(x²) = g(x)^3
====> f(g(f(x)))=f(x^3)= f(x)²

cas des polynômes :

si g(x) = a.x^n + ...........

g(x²)= a.x^2n + ........

g(x)^3 = a^3.x^3n + .........

donc : a^3 = a et 3n=2n =====> n=0 et a= 0 , 1 , -1

g(x) = 0 , g(x) = 1 , g(x) = -1

de même si f(x) = b.x^m + ........

f(x^3) = b.x^3m + .......

f(x)²= b².x^2m + ......

=====> 2m=3m et b²=b =======> m=0 et b= 0 , 1

===> f(x) = 0 ou f(x) = 1

dans tous les cas : fog et gof sont constantes ===> impossible

....................................

vous avez analysé juste le cas des polynômes ? Pourquoi Mr Houssa ?

en réalité je suis bloqué pour la suite ?????

...............

BjR !

premièrement étudions l'injectivité de f

f(a)=f(b) => gof(a)=gof(b) => a^3=b^3 => a=b : f injective

Or : il est facile de montrer que : f(x^3)= f(x)²

cette équation a au moins 3 solutions -1,0,1

f(0)²=f(0)
f(1)²=f(1)
f(-1)²=f(-1) .. cette equation fonctionnel est a la forme x^2=x qui admet 2 solutions d'ou la contradiction avec l'injectivite de f !