joli probleme

je propose cet ellegant probleme proposé pour la premiere fois en 1991 .

a etant la racine de x²-1991x-1=0

on defini la loi : m*n=mn+[am][an]

ou [x]=partie entiere de x.

montrer que * est associative dans N

ce qui revient à montrer que pour tout a,b et c de In on a:
(a*b)*c=a*(b*c)
si on developpe la dernière égalité on aboutit à qcq choses [.....]=0.