lemme:
pr ts x,y>=0 tel que x>=1 et y>=1 ou bien x>=1 et y<=1 ona :
Preuve:
prouvons la lemme pr x>=1 et y<=1
Posons :
ona :
et :
et :
ona aussi :
( am-gm + x>=y + y<=1 + x>=1)
( EDIT : 12x^3+12-24x >= 12(3x-2)+12-24x = 12(x-1) >=0)alors d²G(x,y)/dx² est croissante donc:
(x>=1 + am-gm+1>=y)
alors dG(x,y)/dx est croissante donc :
(x>=1+ 1>=y)
donc G(x,y) est croissante en fonction de x ==>:
mnt Prouvons la lemme pr x>=1 et y>=1
ona démontré que : G(x,y) >=0 pr x>=1 et y<=1
donc G(x,1/y ) >=0 avec x>=1 et y>=1
en multipliant les cotés de l"inég par y^6 on obtient le résultat (changement de variable u=xy>=1)
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revenons a l'inégalité originale ,
en remplacant a,b,c par a/b , b/c , c/a respectieusement l"inég devient :
soient x,y,z>=0 tel que a=xy b= xz c= yz ( x=sqrt(ab/c) etc...)
l'inég devient :
par cauchy shwarz:
il suffit de montrer que :
soit x=max(x,y,z)
si x>=y>=z
elle équivaut à : z^6*G(x/z,y/z) >=0 ce qui est vrai d'après la lemme car x/z >=1 et y /z >=1
si x>=z>=y
elle équivaut à z^6*G(x/z,y/z) >=0 ce qui est vrai d'après la lemme car x/z >=1 et y /z <=1 CQFD (sauf erreur)
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