I)
1/ puisque (A=>B) <=> (nonA) ou B. (à connaitre)
Appliquons cela sur (*) on obtient que
(*) <=> (**).
2/ (p ou r) est fausse par suite p est fausse et r de meme.
On obtient que nonp est vraie d'apres la relation de "ou" dans (**) cela nous mene à (**) est vrai ,comme (*) <=> (**) donc (*) est vraie!
pour cette question , on met vrai!!
2) Evidemment dans cet exo sans perdre detemps on rrépond par FAUX .
car puisque x=yz alors y et z sont cyclique entre eux donc il n y a pas une unique écriture!
3)Rappel: A\B <=> A intersection B (bar)
1/ oui.
2/ Non.
pour ces deux question prendre x appartennant au premier ensemble et prouvons qu'il appartient au deuxieme ensemble , le reste ne dépend que des connaissances de premiere bac ! (revoir les leçons)
4)1/OUI. puisque P(2)=0 (à calculer) donc 2-x divise P(x) car 2 est une racine.
2/ 2-i est une racine car P(2-i)=0 Calcul!!
pour 2013-i pour faciliter la tache , écrire le polynom comme la multiplication d'un monome qui est 2-x et une équation de deuxieme degré.
5)Fauxx , biensur sin x est continue sur R et periodique toutefois elle est bronée. |sinx|=<1.
pour les deux restantes : à la recherche d'une réponse vulgarisée au programme!
II) Passons apres à l'exo d'apres:
1/ Soit h(x)=f(x)-x une fonction continue sur [0;1] comme la somme de deux fonctions continues sur cet interval:
h(0)=f(0)>=0 et h(1)=f(1)-1 =<0
D'après le th. des valeurs intermediares il existe un a £ [0;1] t.q . h(a)=0.
2/ Supposons que phi ne soit pas de signe constant càd il existe alpha et beta t.q. (alpha;beta)£[0,1]^2 tels que: phi(alpha)>=0 et phi (beta)=<0. Soit alpha < beta, puisque phi est continue sur [0;1] comme somme de f et g deux fonctions continues Alors d'après le th. des valeurs intermediares il existe un gamma £ [alpha;beta] C [0,1] t.q phi(gamma)=0, soit f(gamma)=g(gamma) ce qui contredit l'hypothése H.
Finalement phi est de signe constant!
3/1/Pour montrer qu'elle est bornée :
l'image d'un segment par une fonction continue!
la récurrence voila tt.
3/2/ Par récurrence .
pour u_0=a, on a h(a) =0 selon (1) u_0 est un point fixe .
Supposons que u_n est un point fixe alors:
h(u_{n+1})=f(u_{n+1})-u_{n+1}.
h(g(u_n))=f(g(u_n))-u_{n+1}.
car f et g commutent par composition.
h(u{n+1})=g(u_n)-u_{n+1}=0
d'apres l'hypotese de récurrence donc pour tt n £ N , u_n est un point fixe.
3/3 je vais revenir!!
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