equation olympiade

bonjour
je n'arrive pas a resoudre cet exo tiré d'un ancien olympiade

1) Déterminez tous les couples formés d'entiers naturels (x,y) et (a,b) tels que : x +y = ab et a+b= xy


merci a celui qui trouvera la reponse

x+y=ab
a+b=xy
en sommant +y+a+b=ab+xy
xy-(x+y)+ab-(a+b)=0
(a,b)£IN^3
on a 4 cas:
1)-si (a,b,x,y)≥2
il est facile de demontrer que :
ab≥a+b et que xy≥x+y
alors xy-(x+y)≥0 et ab-(a+b)≥0
et on a :xy-(x+y)+ab-(a+b)=0
alors xy-(x+y)=0 et ab-(a+b)=0
<=>xy=x+y et ab=a+b
xy-x-y=0<=>(x-1)(y-1)=1
donc x-1=1 et y-1=1 ou x-1=-1 et y-1=-1d'où x=y=2 ou x=y=0(mpossible) puisque x,y≥2
de meme pour ab=a+b
on va trouver que a=b=2 (1)
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2)-maintenant si (a,b,x,y)≤2
il est facile demontrer que xy≤x+y et que ab≤a+b
donc xy-(x+y)≤0 et ab-(a+b)≤0
et on a :xy-(x+y)+ab-(a+b)=0
alors xy-(x+y)=0 et ab-(a+b)=0
<=>(x-1)(y-1)=1 et (a-1)(b-1)=1
<=> x-1=1 et y-1=1 ou x-1=-1 et y-1=-1 ...de même pour a et b
<=>x=y=2(impossible puisque x;y≤2) ou x=y=0
de meme pour a et b a=b=0 (2)
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3)-maintenant si a,b<2 et x,y≥2
a,b≤2 <=>a=b=1 ou a=b=0 ou a=1 et b=0 ou a=0 et b=1
en verifiant ces cas dans le systeme +y=ab
a+b=xy on trouve que le seul cas possible est a=b=0 (3)
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4)-de meme pour a,b≥2 et x;y<2
alors x=y=1 ou x=y=0 ou x=1 et y=0 ou x=0 et y=1
en verifiant ces cas dans le systeme +y=ab
a+b=xy on trouve que le seul cas possible est x=y=0 (4)
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alors les couples de solution sont:
(x,y)=(0,0) et (a,b)=(0,0)
ou (x,y)=(2,2) et (a,b)=(2,2)

x +y = ab et a+b= xy donc :

x et y sont les solutions de l'equation X²-(a+b)X+ab=0

delta = (a-b)² >=0

X1= b et X2 =a

donc x=a et y=b ou x=b et y=a

donc l'equation devien :

a+b=ab

ds IN les seuls solution de cette equation sont (0.0) et (2.2)

S=(0.0.0.0) (2.2.2.2)

SAUF ERREUR