A propos d'une suite

La suite de terme général
u(n) = 1/ (n*sin(n))
est elle convergente ?

j'ai eu un résultat bizarre,oui la série converge et pour ce faire on utulise la lemme d'Abel ou encore celle de Dirichlet.
la série est bien définie car 1l/(n*sin(n)) n'est jamais nulle.
1/sin(n) change de signe chaque trois termes et tend vers 0.
1/n tend vers 0 en déroissant....

d'où la convergence de la série de terme général 1/n*sin(n)

La suite 1/sin(n) ne tend pas vers 0! elle peut devenir infiniment grand!!

désolé j'ai pas voulu dire ça,je voulais dire que 1/n tend vers 0 quand n tens vers +00.
Evidemment ma démo est fausse je pense,mais je crois encore que les séries altérenées vont donner qcq choses.

non,mnt je commence à croire que ça converge pas pour une simple raison que 1/n*sin ne converge pas vers 0 pour une infinité de valeur,encore une fois je vois pas comment montrer ça.
Je serai reconnaissant à Mr m.elouafi s'il nous donne une petite indication,sinon m'affirmer que la série ne converge pas.

Mr radouane_BNE:
commence par montrer que si la suite converge alors sa limite ne peut étre que 0. Montrer ensuite que ceci est impossible.
indication: {Un résultat d'approximation diophantienne}
" Si x est un nombre irrationnel , il existe une infinité d'entiers p,q, q>0 tels que |x-p/q|<1/q^2"
L'appliquer pour x=Pi.

votre indication M.elouafi me fait penser à l'idée suivante:

on va montrer que 1/(n.sin(n)) ne converge pas vers 0 pour une infinité de valeurs ds IR.
soit ||x|| la distance entre x et l'entier le plus proche de lui.

on utilise le résultat d'opproximation diophantienne pour x=1/Pi on aura:

||q/Pi||=min(m£IN)|q/Pi-m|=<1/q

et puisque |sinq|=<Pi.||q/Pi|| alors |1/(q.sin(q))|>1/Pi

ceci étant vrai pou une infinité d'entiers q,ce qui prouve que la La suite de terme général u(n) = 1/ (n*sin(n)) est divergente.