Inégalité

Soit a,b,c > 0 et 1/a + 1/b + 1/c = 1.Prouver que:



*très facile et créée par moi

badr_210 a écrit:

Salut

1/a + 1/b + 1/c = 1 <==> ab+ac+bc=abc

abc >= [a²+b²+c²-(a+b+c)(a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc)]/10

<==> (a+b+c)(a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc)>= a²+b²+c²-10(ab+ac+bc)

il suffit donc de prouver la dernière inégalité :
on a (a+b+c)(1/a +1/b +1/c) >= 9 (C-S)

d'où (a+b+c)(a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc) >= 9(a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc) (*)

d'autre part on a : a²+b²+c² >= ab+ac+bc (IAG 3 fois)

donc : 9(a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc) >= a²+b²+c²-10(ab+ac+bc) (**)

De (*) et (**) on déduit que : (a+b+c)(a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc)>= a²+b²+c²-10(ab+ac+bc)

d'où l'inégalité initiale

Faux ! Révise ce qui est en rouge !

Oui !! tu as raison , (a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc) peut être négatif .

merci pour la correction .

Voici mon essai d'une généralisation de cette inégalité :

Si a,b,c,k > 0 et 1/a + 1/b + 1/c = 1/k , alors:

on va supposer que:



on a donc

or,


donc on aurra:














Done !

C'est ça ! Mais j'aurais préféré que tu commences le développement par équivalences depuis l'inégalité initiale,c'est plus évident.

En effet,cette inégalité est une conséquence de ma généralisation pour l'inégalité de Schur (t=1),que je présente ci-dessous :

Généralisation: (T.Facile à prouver par l'inégalité de Schur meme )

Si a,b,c et k sont des réels positifs et a,b,c >= k alors :



(*) En prenant k=0 on obtiendra l'inégalité de Schur pour t=1.

(*) Dans l'inégalité que j'ai posté,j'ai pris k=1 sous la condition que 1/a + 1/b + 1/c = 1 afin que a,b et c soit supérieurs à 1 .

Salut !! je vois que votre inégalité et bien plus forte que celle de schur et que ce n'est facile de créer une telle inégalité,elle n'est plutôt pas trés facile, et j'espère que vous puissiez entamer de nouveux géneralisations pour certains inégalités,et donner des résultats plus forts et plus interessants!!