C'est la clé!!
Si p ne divise ni a ni b alors par le
petit théorème de Fermat:
a^(p-1) = 1 mod p et b^(p-1) = 1 mod p
Écrivons p=3k+2. Alors
a^(3k+1) = 1 mod p et b^(3k+1) = 1 mod p (*)
D'autre part:
a^2+ab+b^2 = 0 mod p => a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) = 0 mod p
et donc a^3k= b^3k
mod p ce qui donne d' après (*):
a^2=b^2 mod p càd a=b mod p ou a=-b mod p
La cas a = -b
mod p est à exclure car on aurait alors a^3 = -b^3
mod p.
Donc a = b
mod p et par suite :
a^2= ab mod p ; ab= b^2 mod p (**)
Faisons la somme dans (**):
a^2+ab+b^2=3ab mod p
Comme p et premier avec 3 alors p divise ab et donc p divise a ou b.
Absurde.
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