n=5a+7b

Soit n un entier naturel superieur ou égal à 24 .
Montrer qu'il existe un couple (a,b) £ IN² tq : n=5a+7b

Bonne chance !!

Poser n=12k+r 0=<r<12 et k>=2
Remarquer seulement que n=7k+5k+r
selon Bézout il existe a,b tel que 7a-5b=r et surtout pour les résidues avec b<=2(calculer)
donc n=7(k+a)+5(k-b) done!

Soit n>= 24 et a,b £ N
Il faut déterminer a et b tel que n = 7a + 5b
n = p (mod5) ; p £ {0,1,2,3,4}
n-5b = p (mod5)
7a = p (mod5)
a = q (mod5) ; (p,q) = { (0,0) ; (1,3) ; (2,1) ; (3,4) ; (4,2) }
a = 5k + q ; k £ N
n = 5k'+ p ; k'£ N*\{1,2,3,4}
alors b = ( p - 7q / 5 ) + k' - 7 k ; ( b >=0 )

salam

une idée: pas à pas

n= 24 ======> 24 = 5.(2) + 7.(2)
n= 25 ======> 25 = 5.(5) + 7.(0)
n= 26 ======> 26 = 5.(1) + 7.(3)
n= 27 ======> 27 = 5.(4) + 7.(1)
n= 28 ======> 28 = 5.(0) + 7.(4)
n= 29 ======> 29 = 5.(3) + 7.(2)
n= 30 ======> 30 = 5.(6) + 7.(0)
n= 31 ======> 31 = 5.(2) + 7.(3)
n= 32 ======> 32 = 5.(5) + 7.(1)
n= 33 ======> 33 = 5.(1) + 7.(4)
.............................................
pour n > 33

n = 10k + m / m € { 24,25,........., 33}

exp :

n = 47 = 20 + 27 = 5.4 + 5.4 + 7.1 = 5.8 + 7.1

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solution expresso

5a+7b = n
eqution diophantienne

pgcd(5,7)=1

=====> (a,b) existe pour tout choix de n

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beautiful mind a écrit:

Poser n=12k+r 0=<r<12 et k>=2
Remarquer seulement que n=7k+5k+r
selon Bézout il existe a,b tel que 7a-5b=r et surtout pour les résidues avec b<=2(calculer)
donc n=7(k+a)+5(k-b) done!

sLT ! JAI PAS COMPRIS le passage de la ligne 2 à la ligne 3 peut tu meclaircir un petit peu ?

Merci

A++

la condition pour que ça soit vrai est : PGCD(7,5) divise r
et c'est vrai puisqu'ils sont premiers entre eux

salam

je crois que vous aimez la philosophie (dialogue de sourds)

j'ai proposé deux solutions

personne ne réagit ???!!!

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