Besoin d'aide pour une résolution d'équation

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'un coup de main sur un problème qui me semble loin d'etre simple... En fait, je suis étudiant en informatique et j'ai un problème important à résoudre issu d'un algorithme que je développe...

Peut etre que ça vous prendra 5 minutes à résoudre donc j'ai pensé vous mettre mon problème ici:
Notation: e^x est l'exponentiation de x.
Soit u(n) = k*((a-1)*n*e^(-n*a)+(n+1)*e^(-n*a))
avec k = (1-e^(-a))²/(1+2*a*e^(-a)-e^(-2*a))
et a un constante donnée.
Domaines de définitions:
n >= 2 entier naturel, et a inclu dans ]0;1.695].
k semble etre positif, mais je ne l'ai pas démontré.
Il semblerait que u(n) soit décroissante et tende vers 0 en +infini, je ne l'ai pas démontré, mais en toute logique, ça devrait etre le cas. Si ce n'est pas le cas, il y a un probleme dans mon raisonnement...

Problème: On veut trouver le premier n tel que u(n) soit inférieur à un seuil S fixé (ex: S = 0.001).
Ce qui, je pense peut etre fait en calculant:
u(n) < S

Une valeur majorée de n serait acceptable (mais pas trop sinon ça ralenti l'algorithme) si cela rend les calculs plus simples.

Je remercie tout particulièrement celui qui se penchera sur le probleme...

u(n) = k*e^(-n*a)*(n*a+1) tend vers 0

e^x>= 1+x+x²/2 qqs x>0

==> u(n) < k*(n*a+1)/(n²a²/2+na+1) <S <==> une équation de second degré en n.

Wow ! Merci

Je vais me pencher là dessus !

J'ai une question:
Pourquoi avoir choisi de majorer u(n) par: 1+x+x²/2 ?

Finalement, pour plus de précision, j'ai choisi d'utiliser la fonction reciproque de n.e^n qui est la fonction de lambert notée W.

Du coup, après une bonne heure de résolution, j'ai trouvé ce résultat très intéressant:



Mais à mon grand regret, le n trouvé est négatif, mais correspond bien à une solution...

Quelqu'un aurait-il une idée pour trouver un n > 0 ?

abdelbaki.attioui a écrit:

u(n) = k*e^(-n*a)*(n*a+1) tend vers 0

e^x>= 1+x+x²/2 qqs x>0

==> u(n) < k*(n*a+1)/(n²a²/2+na+1) <S <==> une équation de second degré en n.

Autre méthode:

u(n) = k*e^(-n*a)*(n*a+1)<S <===> S*e^(n*a)> k*(n*a+1)
On étudie alors la fonction f(x)=S*e^x - k*(x+1)

f'(x)=S*e^x - k >0 <==> x>ln(k/S) donc
u(n)<S <===> n> ln(k/S) /a
==> le premier n est E[ln(k/S) /a]+1