CLASSSIC

salam a tt le monde
montrer que Sn(K)+An(K)=Mn(K) (je parle de la somme directe)
et merci pour votre attention

idée:
ch(x) = 1/2(e^x +e^(-x)) et sh(x) = 1/2(e^x - e^(-x)).
e^x = ch(x) + sh(x)
soit A un élément de Mn(K) tu fait l'analogie avec A et t(A)
ou t(A) = transposée de A .
bon courage

weee il reste a signaler ke leur intersection est nulle

Expert sup Nombre de messages : 1595 Age : 65 Date d'inscription : 11/02/2007

lg a écrit:: salam a tt le monde
montrer que Sn(K)+An(K)=Mn(K) (je parle de la somme directe)
et merci pour votre attention

BJR à Toutes et Tous !!
BJR lg !!

1) On montre sans difficultés que Sn(IK) inter An(IK) est réduit à la seule MATRICE NULLE de Mn(IK)
En effet , cette matrice est la SEULE qui soit à la fois Symétrique et Antisymétrique .....
2) Il reste la Décomposition ....
Soit A une matrice donnée quelconque , on pose S=(1/2).{A+tA} puis
T=(1/2).{A-tA}.
Il est CLAIR que S est symétrique , T est antisymétrique et que A=S+T .
Ne pas oublier que t(tH)=H pour toute matrice H de Mn(IK) .

Remarque : il faut sans doute supposer que le corps IK de base n'est pas de CARACTERISTIQUE 2 , ce qui est le cas lorsque IK=IR ou C .

LHASSANE

merci bcp LHASSANE c bien démontré!!!

salam
je vous invite tous a démontrer que dim(Sn(K))=n*(n+1)/2 et dim(An(K))=n*(n-1)/2
et merci

Expert sup Nombre de messages : 1595 Age : 65 Date d'inscription : 11/02/2007

lg a écrit:: salam
je vous invite tous a démontrer que dim(Sn(K))=n*(n+1)/2 et dim(An(K))=n*(n-1)/2
et merci

Salut lg !!!
Celà ne pose aucun problème particulier .... Il suffit de travailler avec la Base Canonique de Mn(IK)
Cette base est constituée des fameuses matrices E(i;j) pour 1<=i<=n et 1<=j<=n définies ainsi :
la matrice E(i;j) a tous ses termes nuls sauf celui qui est situé à la i ème Ligne et j ème Colonne qui vaut 1 ; elles sont en nombre n^2 .

SALUT LHASSANE vs avez tt a fait raison

c gentil de votre part

pour montrer dim(Sn(K))=n*(n+1)/2 et dim(An(K))=n*(n-1)/2
il suffit de déterminer une base de An(k) qui est :
{(E_ij-E_ji)(E_ii),(i,j)£[1,n]}
donc cela revient a choisir 2 élément de n élément
c/c : dim(An(k))=n*(n-1)/2
pour Déterminer dim(Sn(K)) applique le théorème du rang

[Excuser ma rédaction Smile

, faute de temps...]
Cordialement Hamza

wee sinn on choisis une base de Sn(k) ki est (E_ij+E_ji)(E_ii) et on applike la meme demarche
merci hamza

1)Mn(K) = An(K) + Sn(K) ...
2) f Mn(K) -->Mn(K): f(A) = 1/2( A + tA) est linéaire tel que
Im(f) = Sn(K) et Ker(f) = An(K) à vérifier.
donc la somme est directe.( théorème de la dimension)
3)on verifie que ((Eii)i=1 à n U (Eij +Eji)0<i<j<n+1) est une base de S n(K) et conclure.

des remarques : f(A) = 1/2(A+ tA)
Sn(K) = Im(f) et An(K) = Ker(f) donc Sn(K) et An(K) sont deux sous espaces vectoriels de Mn(K)
f² = f donc f est un projecteur sur Sn(K) parallèlement à An(K)
et on à :
Mn(K) = Sn(K) (+)An(K) somme directe.