e.v

st soit f K[X] -->K[X] f(P) = P(X+1) - P(X).
a) Montrer que f est linéaire et donner Im(f).
b) En déduire que K[X] est de dimension infinie.
bon courage

Expert sup Nombre de messages : 963 Age : 34 Date d'inscription : 20/05/2007

a/ première partie facile
posons A_k=X(X-1)(X-2)...(X-k+1)/k! et A_0=1
il est facile de démontrer que f(A_k)=A_(k-1) (qqs k>=1)
et que (A_0,...,A_n) base de K_n[X] (on pourra montrer la libérté à l'aide d'une récurrence finie ascendante)
donc (A_k)k£IN base de K[X]
Soit P de K[X] , il existe donc a_0 , ... , a_n de K tq P=a0.A_0+...a_n.A_n
en posant Q=a_n.A_(n+1)+a_(n-1).A_n+...a_0.A_1+c (tq c élément de K) on obtient f(Q)=P
D'où P£Im(f)
D'où K[X]CIm(f) (ac Im(f)CK[X] )
donc Im(f)=K[X]

b/supposons que K[X] est de dim finie
donc en vertu du th du rang dim(K[X])=rg(f)+dim(Ker[X])
or rg(f)=dim(K[X]) (car Im(f)=K[X])
donc dim(Ker[X])=0
d'où Ker[X]={0}

Absurde car tout polynome constant non nul est un élément du noyau
d'où le résultat

(dslé ,j'ai pas bien rédigé la solution ><)

c'est bien mais trop long :
f induit une surjection f' deK_(n+1)[X] dans Kn[X]
en effet (f'(X),f'(X²) , ....,f'(X^(n+1)) est une famille libre de Rn[X]
donc base donc Im(f') = Kn[X] ;
soit P élément de K[x] il existe n de N tq P élément de Kn[X]
alors il existe Q dans K_(n+1)[X] ; f'(Q) = P...
F SURJECTIVE ET NON INJECTIVE DONC ....