- un fou a écrit:
- a,b,c >0
Posons a/b = x,b/c = y,c/a = z alors xyz=1,
L'inégalité devient:
V(x+y+z-2) + 8/( (x+1)(y+1)(z+1) ) >= 2
Posons x+y+z = p et xy+yz+zx = q,l'inégalité après développement devient:
(p-2)(p+q+2)² >= 4(p+q-2)²,
(*) si 3p >= q+6,
Alors (p-2)(p+q+2)² >= 16(p-2)(p+q-2) >= 4(p+q-2)²,
(*) si 3p =< q+6,
Alors 4(p+q-2)² =< 64q²/9,
Or,on sait que : (p+q+2)² >= 4(p+1)(q+1);
Alors il suffit de prouver que:
(p-2)(p+1)(q+1) >= 16q²/9;
Ce qui est équivalent à:
9p²q+9p² >= 16q²+9pq+18q+9p+18;
ce qui est clair car : 2p² >= 18,6p²>=18q,3p²q >= 9pq,p² >= 3p,2p²q/3 >= 6p et 16p²q/3 >= 16q²;
en additionnant ces inégalités on trouve le résultat voulu.
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