Difacile !!

Soit x,y,z > 0 tel que: Prouvez que:

EINSTEINIUM a écrit:

Soit x,y,z > 0 tel que: Prouvez que:

Posons x=a²,y=b² et z=c²;

L'inégalité devient:

\sum a^3/(b²+c²) >= V3/2 avec a,b,c > 0 et a²+b²+c² >= 1;

L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne:

LHS.( \sum a(b²+c²) ) >= (a²+b²+c²)²;

Il suffit de prouver que:

(a²+b²+c²)² + V3.(a^3+b^3+c^3)/2 >= V3.(a²+b²+c²)(a+b+c)/2;

(*) a+b+c >= V3;

Alors (a²+b²+c²)² >= (a²+b²+c²)(a+b+c)²/3 >= (a²+b²+c²)(a+b+c)/V3 et on sait que V3.(a^3+b^3+c^3)/2 >= (a+b+c)(a²+b²+c²)/2V3;

En additionnant ces 2inégalités on trouve le résultat voulu.

(*) a+b+c =< V3;

Alors V3.(a²+b²+c²)(a+b+c)/2 =< 3(a²+b²+c²)/2 et on sait que a^3+b^3+c^3 >= (a²+b²+c²)²/(a+b+c) >= (a²+b²+c²)²/V3,

Il suffit de prouver alors que:

(a²+b²+c²)² >= (a²+b²+c²) ce qui est vrai car a²+b²+c² >= 1.

LHS.( \sum a(b²+c²) ) >= (a²+b²+c²)²
svp , ça veut dire quoi ce qui est en rouge

kogu a écrit:

LHS.( \sum a(b²+c²) ) >= (a²+b²+c²)²
svp , ça veut dire quoi ce qui est en rouge

le terme a Gauche !

EINSTEINIUM a écrit:

Soit x,y,z > 0 tel que: Prouvez que:

posons x=ka ,y=kb = kc , avec a+b+c=1 et k>=1

LHS = sqrt{k}* \sum{asqrt(a)\(b+c)) >= \sum{asqrt(a)\(b+c))

i.e il suffit de démontrer l'inégalité pr a+b+c=1

ona : a/(b+c) =a/(1-a) >= 3a -9a(1-a)/4 = 3a/4 +9a²/4 ( am-gm)

donc 4sum{asqrt(a)\(b+c)) >= sum( sqrt(a)*(3a+9a²)) = sum(sqrt(a)
(a+a+a+3a²+3a²+3a²) >= 6*sqrt(3) sum(*sqrt(a)* a^(9/6))=6sqrt(3)*sum(a^2) >= 2 *sqrt(3) d'ou le résultat, ceci montre que l"inégalité est faible
(sauf erreur)
A+

Salut
voilà une autre methode :
alors ,posant tout d'abord x=X² , y=Y² , z=Z²
L'inégo 2v1 :
avec X²+Y²+Z²>1/3(X+Y+Z)²>=1 ===> X+Y+Z >= V3

PAR symétrie des role en suppose que X>=Y>=Z
d'où X^3>=Y^3>=z^3 et 1/(Y²+Z²)>=1/(X²+Z²)>=1/(X²+Y²)
ce qui nous donne d'aprés chybecheve deux fois :


car ,or 1/(Y²+Z²)+1/(X²+Z²)+1/(X²+Y²) >= 9/[2(X²+Y²+Z²) (trés connue)

ce qui nous donne enfin
car X+Y+Z>= V3


A+++

kogu a écrit:

Salut
voilà une autre methode :
alors ,posant tout d'abord x=X² , y=Y² , z=Z²
L'inégo 2v1 :
avec X²+Y²+Z²>1/3(X+Y+Z)²>=1 ===> X+Y+Z >= V3

PAR symétrie des role en suppose que X>=Y>=Z
d'où X^3>=Y^3>=z^3 et 1/(Y²+Z²)>=1/(X²+Z²)>=1/(X²+Y²)
ce qui nous donne d'aprés chybecheve deux fois :


car ,or 1/(Y²+Z²)+1/(X²+Z²)+1/(X²+Y²) >= 9/[2(X²+Y²+Z²) (trés connue)

ce qui nous donne enfin
car X+Y+Z>= V3


A+++

Faux !!

Oui ;j'ai su que quelqu'un me le dirais , mais ,pour moi je vois que c'est vrai , car F(x,y,z)=x²+y²+z² est super directement d'une consante :1: pas d'une autre fonction, toutes les fonctions fn(x) telles que F(x,y,z)>= fn(x,y,z) sont aussi super ou égaux 1 ....

j'éspère que tu m'as b1 compris ^^
je ne sais pas si c'est claire (j'ai pas une moyenne pour te bien expliquer)

PS: il y a une erreur de frappe au niveau de la 2éme explication ( 9 à la place de 3).démonstration est la même !

Bien vu

A Alaoui.Omar t'as commis une petite faute lorsque tu as utilisé (a+b+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) +1/(c+a) >=3 !! faux