Voici ma solution :
Prenons a=1,on trouve que 1,f(b) et f(b+f(1)-1) sont les cotés d'un triangle,alors d'après l'inégalité triangulaire on a : f(b)-1 < f(b+f(1)-1) < f(b)+1 alors f(b+f(1)-1)=f(b).On a aussi f(1)=1,car sinon,on pose f(1)-1=k > 0,on aura f(b)=f(b+k)=f(b+n.k) pour tt n £ IN*.Prenons maintenant a -> a+n.k et fixons b,alors f(b)+f( b+f(a+nk)-1 ) > a+nk <=> f(b)+f(b+f(a)-1) > a+n.k,alors il suffit de prendre n -> +oo pour obtenir une contradiction,par conséquent
f(1)=1.Fixons a et prenons b=1,on trouve facilement que f(f(a))=a d'ou la
bijectivité de f.Prenons maintenant a=2,alors 2;f(b) et f( b+f(2)-1 ) sont les cotés d'un triangle,alors f(b)-1 =< f( b+f(2)-1 ) =< f(b)+1.
*Si f( b+f(2)-1 ) = f(b) => b+f(2)-1 = b => f(2)=1 , Contradiction !
*Si f( b+f(2)-1 ) = f(b)-1,soit k = f(2)-1 alors f( b+k ) = f(b)-1;une réccurence sans difficulté montre que f(b+n.k)=f(b)-n,et en faisant tendre n vers +oo on obtient une contradiction ( car (pour tout x £ IN*) : f(x) > 0 ).
Alors
f( b+f(2)-1 ) = f(b)+1,on peut facilement prouver que (pour tt n £ IN*) : f( 1+n.k ) = n+1 ou k=f(2)-1,considérons l'ensemble A={ f(1+n.k) / n £ IN* },on a alors A=IN*-{1},si k > 1 alors 1 =< k-1 < k+1 =< 1+n.k => k-1 = 1 => f(2)=3 et f(b+2)=f(b)+1 => f(2)=3 et f(5)=3 ce qui est absurde,on conclut que
k=f(2)-1=1,alors f(n+1)=f(n)+1 d'ou on peut établir sans difficulté que
(pour tout n £ IN*) : f(n) = n.P.S:L'équipe marocaine qui nous représente à l'IMO 2009 était classé 74ème parmis 104 pays,ce qui est vraiment malheureux
.En effet,cela était prévu vu le petit nombre de tests ( 2tests
) et l'abscence d'un "stage préparatoire" !!!
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