groupes finis / très bon!!

Trouvez tous les groupes abéliens finis de cardinal 8.

jé trouvé 1 : G={0,1,...,7} , (G,*) est un groupe abelien de neutre 0 avec :

pour tt i et j de G , i*j= i+j si i+j=<7 et i*j=i+j-8 si i+j>=8

entrain de reflechir

n.naoufal a écrit:

Trouvez tous les groupes abéliens finis de cardinal 8.

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Naoufal & memath !!

Voilà , il ne s'agit pas de les trouver tous ..... on n'aurait le temps !!!
C'est un problème de Classification des Groupes d'ordre donné !!
On donnera alors à ISOMORPHIME près la nature et la structure des groupes d'ordre 8 .
Soit donc G un groupe à 8 éléments .
On exclut le neutre e qui est sans intêret car d’ordre 1 .

Un élement a de G est selon le Théorème de LAGRANGE , d'ordre un diviseur de 8 donc 2,4 ou 8 .

1) S'il existe un élément b dans G d'ordre 8 alors G est CYCLIQUE et ISOMORPHE à Z/8Z ( groupe additif ) . C’est une structure Abélienne .
2) SINON , tout élément de G est d’ordre 2 ou 4 :
A/ S’il existe un élément a d’ordre 2 et b d’ordre 4 alors on aura une structure ISOMORPHE au Groupe DIEDRAL ou Groupe des Isométries Planes laissant Invariant le CARRE , ce groupe est engendré par une SYMETRIE par rapport à 2 sommets opposés et une ROTATION d’angle Pi/4 .
C’est une structure Non Abélienne .
B/ Si tout élément de G est d’ordre 4 , on retrouve une structure isomorphe au Groupe des QUATERNIONS !!! C’est une structure Non Abélienne .
C/ Il reste le cas ou tout élément de G est d’ordre DEUX ……
Je ne sais pas ce qui se passe dans ce cas précis ….
Je ne suis pas Arithméticien !!
Peut être penser à la Structure Z/2Z x Z/2Z x Z/2Z ?????!!!!!

A+++++ LHASSANE

Bjr mr Lhassane !
je me suis un peu documenté sur les groupes abeliens pour comprendre votre intervention et la completer !

il existe trois groupes qui verifient les criteres de l'exercice et sont :

Z/8Z et Z/2Z*Z/4Z et (Z/2Z)^3

et cela du au fait que 8=2^3 et que 3=1+2=1+1+1

la demo est immediate en considerant la bijection avec les suites (a1,a2...an) tel que a1+a2+...+an=3

j espere que vous me comprendrez (sauf erreur)

memath a écrit:

Bjr mr Lhassane !
..... il existe trois groupes qui verifient les criteres de l'exercice et sont :

Z/8Z et Z/2Z*Z/4Z et (Z/2Z)^3

et cela du au fait que 8=2^3 et que 3=1+2=1+1+1 .....

Salut memath !!

En fait , ma contribution fait appel à des résultats sur les GROUPES de niveau BAC+1
soit : 1ère Année Fac ou Maths-Sup ......
Tes trois modèles de groupes sont convenables :
Z/8Z c'est la structure cyclique monogène abélienne d'ordre 8 .
Z/2Z x Z/4Z c'est la structure analogue au Groupe Diédral ( Groupe des Isométries du Carré )
Z/2Z x Z/2Z x Z/2Z c'est celle que j'ai sussurée à la fin et qui correspond à tout élément de G distinct de e est d'ordre DEUX ;

IL te reste la 4ème ; c'est la Structure Quaternionique ( tout élément de G distinct de e est d'ordre quatre ) .

A+++++ LHASSANE

ah daccord , merci mr.Lhassane

Oui c'était ça!! en faite j'ai envisagé un autre exercice de meme formulation :
Trouvez tous les groupes NON abéliens finis de cardinal 8.

Trouvez tous les groupes NON abéliens finis de cardinal 8.
par une etude simple des ordres d'elements d'un tel groupes les seuls groupes verifiant l'exo sont le groupe des quaternions et le groupes diedral d'ordre 8.