injectivité surgectivité

salut tout le monde!! On demande d'étudier l'injectivité et la surjectivité de la fonction f de dans

soit f(x.y)=(x^2+y.x+y)
f (p.n) =(p^2+n.p+n)
donc
x^2+y=p^2+n et x+y=p+n
.
.
(x-p)(x+p-1)=0 donc x=p dou y=n alors f est injectif
pour la surjectivite on va resoudre lequation (a.b)= f(x.y) on peu demonter facilement que lequation admet au moins une solution dou la surjectivite

abdou20/20 a écrit:

soit f(x.y)=(x^2+y.x+y)
f (p.n) =(p^2+n.p+n)
donc
x^2+y=p^2+n et x+y=p+n
.
.
(x-p)(x+p-1)=0 donc x=p dou y=n alors f est injectif
pour la surjectivite on va resoudre lequation (a.b)= f(x.y) on peu demonter facilement que lequation admet au moins une solution dou la surjectivite

Je suis un peu gêné de lire ce qui est en ROUGE !!!
Tu dis :
(x-p)(x+p-1)=0 alors de deux choses l'une :
ou x=p et tu conclus à l'injectivité comme tu le fais !!!
ou x=1-p et ce cas , tu ne l'as pas envisagé , on travaille dans IRxIR ?????
A+ LHASSANE

oui je suis dacord avec vous mais comment on peux sortir
dans le cas ou x=1-p

Re-BSR abdou20/20 !!
Il se peut fort que f ne soit précisément PAS INJECTIVE !!!
Selfrespect demande seulement de voir si
f est injective ou pas ; surjective ou pas !!!
Je te reviens dans un moment !
A tut !! LHASSANE

ok merci pour votre aide

abdou20/20 a écrit:

ok merci pour votre aide

De rien abdou20/20 et je le fais bien volontiers !!!
Voilà , je pense qu'il faut prendre le problème sous cet angle :
On va chercher à résoudre l'équation f(x,y)=(a,b) a; b dans IR, ce faisant la discussion nous ménera aux conclusions qu'il faut !!!
L'équation f(x,y)=(a,b) conduit au système suivant :
x^2+y=a
x+y=b
par soustraction , on élimine y et on obtiendra :
x^2-x+b-a=0
Son discriminant vaut DELTA= 1-4.(b-a)

1) Si on choisit a et b de telle sorte que DELTA <0 c.à.d (b-a)>1/4 alors on n'aura pas de solutions en x donc pas de couple (x,y) t.q f(x,y)=(a,b)
Cela seproduira par exemple si b=2 et a=1
Ainsi l'équation f(x,y)=(1,2) n'a pas de solutions et on conclut que f NE SAURAIT ETRE SURJECTIVE !!!
2) Si on choisit a et b de telle sorte que DELTA >0 c.à.d (b-a)<1/4 alors l'équation du second degré en x aura DEUX RACINES REELLES DISTINCTES x1 et x2 et qui donneront y1=b-x1 et y2=b-x2 et par conséquent on aura deux solutions distinctes de l'équation f(x,y)=(a,b)
à savoir les couples (x1,y1) et (x2,y2) et par suite f NE SERA PAS INJECTIVE . Cette situation se produira par exemple si a=b
A+ LHASSANE
CONCLUSION : f est ni injective , ni surjective .

bienvu MR Oail de lynx mais je propose
nn injective :
f(1,0)=f(0,1) ==/=> (1,0)=(0,1)
nn surgective :on peut oubien chercher un couples qui na pas d antecedant (pour le trouver on peut proceder de la mm maniere que vs avez utilusé (cercher a et b de sorte que ....)
merçi.

BSR Selfrespect !!
<< NON INJECTIVITE DE f >>
Lorsqu'on prend a=b , alors on obtient x^2-x=0 donnant deux solutions x=0 ou x=1
pour x=0 alors y=a
et pour x=1 alors y=a-1 donc les deux couples (0,a) et (1,a-1) ont même image par f .
Par conséquent l'exemple que tu cites est un cas particulier chez moi en faisant a=b=1 .
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

BSR Selfrespect !!
<< NON INJECTIVITE DE f >>
Lorsqu'on prend a=b , alors on obtient x^2-x=0 donnant deux solutions x=0 ou x=1
pour x=0 alors y=a
et pour x=1 alors y=a-1 donc les deux couples (0,a) et (1,a-1) ont même image par f .
Par conséquent l'exemple que tu cites est un cas particulier chez moi en faisant a=b=1 .
A+ LHASSANE

salut
ben jai voulu dire que dans ce genre de question ; il est plus aisé de chercher juste un petit simple exemple (puisqu il s'agit de la negation d'une proposition !!) au lieu de chercher tt un ensemble .
amicalement.

Good Morning Selfrespect !!
Yes !! You're fully right again !!
See You ! LHASSANE