Japon 96

Si gcd(m,n)=1 alors calculez :

J'ai trouvé 12

pour kogu

si m=kn , k impair

exp : m = 3n

5^m + 7^m = (5^n )^3 + (7^n)^3 = (5^n + 7^n)(............)

donc le pgcd = 5^n + 7^n

.............................

salut houssa ! peut etre tu as oublié que gcd(m,n)=1 ça veut dir que m et n sont premier entre eux
donc tu ne peux pas supposer m=3n car dans ce cas gcd(m,n)=n

tu as raison j'ai pas fait attention .

.

slt kogu comment t'as fait pr trouver 12 stp :

jé factorisé les deux nombre

(5^n) + (7^n) =(7+5)(5^(n-1)-.......+7^(n-1))=12(.....)

la mm chose pour (5^m) + (7^m)=12(....)

ok merci bcp .

La formule (5^n) + (7^n) =(7+5)(5^(n-1)-.......+7^(n-1)) n'est
valable que pour n impair (5^4+7^4 n'est pas un multiple de 12).

posons pgcd(5^n+7^n ; 5^m+7^m)=d et sois p un nombre premier qui divise d
alors 5^n=-7^n[p]
5^m=-7^m[p]
n et m sont premiers entre eux ,
il existe 2 entiers u et v tel que n.u-m.v=1 => n.u=m.v+1
5^(n.u)=(-1)^u*7^(n.u)[p] =>5^(m.v)*5=(-1)^u*7^(m.v)*7[p]
5^(m.v)=(-1)^v*7^(m.v)[p]=>5^(m.v)*5=(-1)^v*7^(m.v)*5[p]
faisons la différence des 2 terms
((-1)^u*7-(-1)^v*5)7^(m.v)=0[p]=>(-1)^u*7-(-1)^v*5=0[p]
seules valeurs possibles : 2 et 12 =>p divise 12 =>p=2 ou 3
pgcd(5^n+7^n ; 5^m+7^m)=d=2^a*3^b (a et b entier)
5^n=(-1)^n[3] =>5^n + 7^n =1+(-1)^n[3]
5^m=(-1)^m[3] =>5^m + 7^m =1+(-1)^m[3]

7^n=(-1)^n[4] =>5^n + 7^n =1+(-1)^n[4]
7^m=(-1)^m[4] =>5^m + 7^m =1+(-1)^m[4]

Premier cas : n ou m est pair (supposons n)
5^n + 7^n =2[3] 3 ne divise pas 5^n + 7^n
de la même façon 4 ne divise pas 5^n + 7^n
soit pgcd(5^n+7^n ; 5^m+7^m)=2

Deuxième cas : n et m impair
5^n + 7^n =0[3]
5^m + 7^m =0[3]=>3 divise 5^n + 7^n et 5^m + 7^m
de même 4 divise 5^n + 7^n et 5^m + 7^m
=>12 divise pgcd(5^n+7^n ; 5^m+7^m)
Nous allons montrer que 8 et 9 ne divise pas 5^n + 7^n et 5^m + 7^m
5^n=-3^n[8]
7^n=-1[8] =>5^n + 7^n=-(1+3^n)[8]
écrivons n =2*k+1 =>3^2=1[8]=>3^(2*k)=1[8]=>3^(2*k+1)=3[8]=>3^(2*k+1)+1=4[8]=>8 ne divise pas 5^n + 7^n

pour 9 on a
5^n + 7^n=-(4^n+2^n)[9]=-2^n(2^n+1)[9]
on a 2^3=-1[9]=>2^(3*k)=(-1)^k[9] =>2^(3*k)+1[9] si k impair =>3 divise n de même 3 divise m soit pgcd(m;n)=3 ce qui est faux
donc
pgcd(5^n+7^n ; 5^m+7^m)=12