irréductibilité dans Z[X]

soient p>3 premier et m et n deux entiers naturels.

montrer que le polynome X^{m}+X^{n}+p est irréductible dans Z[X].

Notation:/a/ valeur absolue de a
Ecartons le cas trivial m=n=0.Prenons par exemple m>n.
Supposons par l'absurde que X^m+X^n+p=(X-a)*P(X) avec a dans Z et P dans Z[X] de degré m-1.Posons b=P(0).Il est clair que p=-ab or p est premier donc /a/=1 ou /a/=p.Mais si /a/=1 et comme a^m+a^n+p=0 et p>3 c'est absurde.Donc /a/=p et a^m+a^n+p=0.Or si m et n avait la meme parité on obtient une contradiction en remarquant que p^m+p^n>p car m>=1.p^m>p^n donc nécessairement m impair et n pair.Dans ce cas on a p^m=p^n+p.Cette égalité est clairement fausse en e qui concerne la parité.CQFD (sauf erreur)

oui tt à fait claire.....il reste une question,dire que X^{m}+X^{n}+p est réductible dans Z[X] revient à dire qu'il existe deux polynomes f et g dans Z[X] tels que X^{m}+X^{n}+p=f(x)g(x),alors pourquoi vous avez choisi f(x)=x-a?