(autriche2004)

exo:

trouver les (a,b) € IN² tels que:

(a^3 +b).(a + b^3) = (a + b)^4

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salut Mr houssa
ma solution c'est:
(a^3 +b).(a + b^3) = (a + b)^4
<=> 4a^3b+12a^2b^2+24ab^3-ab-a^3b^3=0
<=> ab=0 ou 4a^2+12ab+24b^2-a^2b^2-1=0
pour cette cas la tu fais entrer la congruence modulo 4
et tu obtiens que : a^2b^2///3 [4]
et on a quelque soit a et b appartenant à N cela est faut
donc (0;0) est la seule solution qui verifier cette egalité

salam
on voit bien que le couple(0,0) est bien une solution
on va chercher les (a,b) € IN² tel qe ab est different de 0
(a^3 +b).(a + b^3) = (a + b)^4
donc a^4+a^3b^3+ab+b^4=a^4+4a^3b+6a²b²+4ab^3+b^4
donc a^3b^3+ab-4a^3b-6a²b²-4ab^3=0 (*)
on peut diviser par ab puisqu'il est different de 0
(*): a²b²+1-4a²-6ab-4b²=0
(b²-4)a²-6ab-4b²+1=0 (**)
si b=2--->a=17/12
si b=-2--->a=-17/12
les deux cas sont impossible donc b different de 2 et -2
soit x=a
(**) devient: (b²-4)x²-6xb-4b²+1=0
delta=-4(7b²-b^4+4b^6+4)
on considere la fonction f(x)=4x^6-x^4+7x²+4
f'(x)=24x^5-4x^3+14x
f''(x)=120x^4-12x²+14
f'' est positive (on calcule delta')
donc f' est croissante
et puisque f'(0)=0
f' est positive donc f est croissante
et puisque f(0)=4
f est positive
donc notre delta est négatif ce qui veut dire que notre équation n'admet pas de racine
dans la seul solution est le couple (0,0)

Ne postez pas de fausses solutions!
(a^3+b)(a+b^3)=(a+b)^4
a^4+(ab)^3+ab+b^4=a^4+b^4+2ab(2(a^2+b^2)+3ab)
ab((ab)²+1)=2ab(2(a²+b²)+3ab)
si a=0 alors (0,b) est une solution.
si b=0 alots (a,0) est une solution.
si a est différent de 0 et b différent de 0 alors
(ab)²+1=4(a²+b²)+6ab
(ab²+2ab+1=4(a²+b²+2ab)
(ab+1)²=(2(a+b))²
ab+1=2(a+b)
(a-2)(b-2)=3
a-2=3 ou b-2=1
a-2=1 ou b-2=3
(5,3);(3,5) est aussi solution.
Une simple vérification nous permet de conclure que les solutions sont
(0,b);(a,0);(5,3);(3,5)

Parfait Mr beautiful mind BRAVO.

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