f(x)-f(y)£Q

soit f est une application de R->R verfier pour tt x et y tq x-y£Q ==>f(x)-f(y)£Q

trouver f

slt,est-ce que la question est de trouver tout les fcts qui vérifie pour tt x et y tq x-y£Q ==>f(x)-f(y)£Q??

younssi a écrit:

slt,est-ce que la question est de trouver tout les fcts qui vérifie pour tt x et y tq x-y£Q ==>f(x)-f(y)£Q??

oui

j'ai oublié de dire que f est continue

soit a € Q , on definit g une fonction reelles à valeurs dans Q comme suit :

g(x)=f(x+a)-f(x) , notons que g est continue , et une fonction continue à valeurs rationels est forcement constante !

donc : f(x+a)-f(x)=f(0+a)-f(0)

d ou : f(x+a)=f(x)-f(0)+f(a)

on defini la fonction continue h par h(x)=f(x)-f(0)

on a donc : h(x+a)=h(x)+h(a) pr tt x de R et a de Q .

puisque h verifie l equation de cauchy et est continue donc h(x)=rx

d ou f(x)=rx+f(0) .

reciproquement la fonction x:-->rx+f(0) verifie l equation si et seulement si r est rationel donc l unique solution de cet enoncé est :

f(x)=rx+f(0) pr tt x de R , avec r€Q