Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup ....

BSR à Toutes et Tous !!
Voilà un exo sympa de niveau Sup pour ce qui concerne la dernière question .....

On considère (un)n une suite de réels verifiant (1/2)<un<1 pour tout entier naturel n .
On construit à partir de celle-ci , un nouvelle suite (vn)n définie ainsi :
vo=uo et pour tout entier naturel n>=1 on pose :
vn={(v(n-1)+un )/( 1+un.v(n-1))}.
1) Montrer que vn >0 pour tout n .
2) Montrer que vn <1 pour tout n .
3) Montrer que (vn)n est CROISSANTE et en déduire qu'elle CONVERGE vers une limite que l'on notera L .

Enfin , Cerise sur le Gâteau ...
4) Prouver que L=1.

Indication pour la 4) : on pensera au Théorème de Bolzano-Weierstrass .

Bonne Soirée & Bonne Continuation de Vacances !!
LHASSANE

Salut, et merci pour l'exercice
pour 1, 2 on utilise la récurrence
pour 3: Vn croissante majoré , donc converge vers L
4-) un borné donc B-W assure qu'il admet une sous suite Uf(n) qui converge vers L' et 1/2=<L'=<1
on a toute sous suite d'une suite convergente converge vers la méme limite ainsi Vf(n) converger vers L et 0=<L<=1
on a Vf(n)=(v(f(n)-1)+Uf(n) )/( 1+Uf(n).v(f(n)-1))
en tendant n a l'infini (f(n) tend aussi vers l'infini)
on aurra L=(L+L')/(1+LL')
cad L+L²L'=L+L' => L'(L²-1)=0 cad L²=1 car 1/2=<L'=<1

BJR à Toutes et Tous !!
BJR younssi !!

Rien à rajouter ! C'est du Joli Travail , Correct à Tous les Points de Vue et Très Soigné en plus !!

LHASSANE

PS : j'aurai souhaité qu' un ( une ) BACSM détaille les trois premières questions qui me paraissent sur le plan technique intéressantes !!!

Merci pour vous Mr LHASSANE