la restriction de f à IN*====> une suite du type
U(n+1) = 3.U(n) + a
on introduit V(n)= U(n) + a/2 ====> suite géom de raison 3
=====> U(n) = V(n) - a/2 = V(1).3^(n-1) - a/2
U(n) =[f(1)+ a/2].3^(n-1) - a/2
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on s'inspire de là
on pose g(x) = f(x) + a/2
===> g(x+1) = 3g(x)
donc si x= E(x) + t ; dans IR+
E(x) :partie entière de x et , 0 =< t < 1
alors : g(x) = 3g(x-1)= 3².g(x-2) = ........= 3^E(x).g(t)
maintenant je ne vois pas pourquoi le IR*?
Donc il suffit de se fixer une fonction g définie sur [0,1[
f(x) = g(x) - a/2 = 3^E(x).g(x-E(x)) - a/2
Vérifions:
f(x+1) = 3^E(x+1).g(x+1-E(x+1)) - a/2
= 3^(1+E(x)).g(x-E(x)) - a/2
= 3.3^E(x).g(x-E(x)) - a/2
= 3.[f(x) +a/2] - a/2
= 3.f(x) + a
encore a € IR* n'intervient pas.
conclusion: dans IR+
f(x) = 3^E(x).g(x-E(x)) - a/2
où g une fonction arbitraire définie sur [0,1[
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dans IR-
pour -k =< x < -k+1 ; k € IN*
g(x+1) = 3g(x)
======> g(x) = 1/3.g(x+1) = 1/3².g(x+2) = ........= 1/3^k.g(x+k)
or x+k = x- (-k) = x- E(x)
donc la réponse dans IR+ s'étend à IR-
ENFIN
POUR tout x € IR :
f(x) = 3^E(x).g(x-E(x)) - a/2
où g est arbitraire définie sur [0,1[
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