pour les nouveaux spéistes (2) (A connaitre)

soit f:M_n(C)---->M_n(C) une application linéaire qui transforme tt matrice inversible en une matrice inversible.Montrer que f conserve le rang.

notons P cette application.
Demontrons que rg P(M)>= rg (M).
si rg M=n ( inversible) alors linegalité est assurée. sinn, soit r= rg( M)

(*)
montrons que si M nn inversible alors P(M) nn inversible. M nn inversible, de rang rdou K-aM inversible pour tt a, il en est de mm pour P(K)-aP(M), d'ou P(k)-1P(M) nilpootente, et ainsi P(M) nn inversible.

revenons au probleme, comme Q-aM nn inversible pour r Valeur de a, alors P(Q)-aP(M) nn inversible pour r valeur de a, donc
P(Q)-1P(M) admet r valeur propre nn nulles distinctes, dou
rgP(M)=rgP(Q)-1P(M)>=r=rgM

rgP(M)>=rgM induit l'injection de P, dou sa bijection, qui d'apres (*) conserve l'inversibilité aussi, et ainsi rgM=rgP-1(P(M)>=rgP(M) ( l'etude de P-1 sera la mm que celle de P)
finalement rgM=rgP(M)

trés jolie solution,BRAVO!

je vous propose de demontrer que f est de la forme
f(M)=PMQ ou P(tM)Q avec tM est la transposé de M et (P,Q)£GL_n(C)²

kalm a écrit:

je vous propose de demontrer que f est de la forme
f(M)=PMQ ou P(tM)Q avec tM est la transposé de M et (P,Q)£GL_n(C)²

on peut méme montrer l'équivalence entre un endomorphisme qui conserve le rang est l'ecriture proposé de f(M)

kalm a écrit:

je vous propose de demontrer que f est de la forme
f(M)=PMQ ou P(tM)Q avec tM est la transposé de M et (P,Q)£GL_n(C)²

on reduit letude au matrice de rang =<1, sachant que les sous espace de ces matrices sont les images de f:X-->XtY, Y fixé ou l'inverse. Cette demo est tres pointue a mon avis, si la rigueur est presente

bah il suffit de faire une bonne rédaction pour une telle réduction assez dangereuse pour voir si elle marchera ou pas.
mais je doute mr rockabdel.