convergence d'un intégrale

cet intégrale est elle convergente ;

dsl,au lieu de 0 il ya un Pi

tt les deux convergent...vers Pi/2 et Pi/2-int_{0}^{Pi} sin(x)/xdx respectivement!

radouane_BNE a écrit:

tt les deux convergent...vers Pi/2 et Pi/2-int_{0}^{Pi} sin(x)/xdx respectivement!

oui , pour le résultat c'est exacte, mais il faut la methodes

une intégration par partie !

salam

une integration par parties permet de montrer que l'integrale converge

mais pour montrer que sa valeur est pi/2, il y'a diverses méthodes

dont l'utilisation du lemme de Lebesgues Riemann...

je propose une méthode qui a paru dans plusieurs oraux pour calculer la limite que jai copié d'un livre.


on pose ( pour x>=0)
f(x)= int_{0}^{+00} sin(t)/(x+t) dt
g(x)=int_{0}^{+00} exp(-tx)/(1+t²) dt

et

h(x)=g(x)-f(x)


on vérifie rapidement qu'elles sont définit est continu sur R+
utilise la dérivation sous le signe intégral pour montrer que pour x>0
f''(x)+f(x)=1/x
g''(x)+f(x)=1/x

d'où h''(x)+h(x)=0 donc h(x)=asin(x)+bcos(x). mais on vérifie aussi que h->0 en l'infinit, donc h(x)=0. donc f(x)=g(x).
on applique cela en x=0 et on trouve que:


int_{0}^{+00}sin(t)/tdt=int_{0}^{+00}1/(1+t²)dt=Pi/2